Глава 8. Степенные ряды

Функциональным рядом называется ряд, членами которого являются функции от аргумента x

u₁(x) + u₂(x) + u₃(x) + ... + u_n(x) + ... = (8.1)

Если в членах ряда (8.1) зафиксировать значение аргумента x=x₀, то получим числовой ряд

u₁(x₀) + u₂(x₀) + u₃(x₀) + u_n(x₀) + ... . (8.2)

Если при x=x₀ числовой ряд (8.2) сходится, то x₀ называется точкой сходимости ряда (8.1).

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех точек сходимости этого ряда. Если значение x₀ принадлежит области сходимости ряда (8.1), то можно говорить о сумме этого ряда в точке x=x₀:

u₁(x₀) + u₂(x₀) + u₃(x₀) + u_n(x₀) + ... = S(x₀).

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной x, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной x.

Степенным рядом по степеням x называется функциональный ряд вида

а₀ + а₁x + а₂x² + ... а_nxⁿ + ... = (8.3)

где а₀, а₁, ... а_n, ... не зависят от переменной x и называются коэффициентами этого ряда.

Степенной ряд (8.3) всегда сходится, по крайней мере, в точке x=0. При любых конкретных x=x₀ ряд (8.3) превращается в числовой ряд

а₀ + а₁x₀ + а₂x₀² + ... а_n x₀ⁿ + ... (8.4)

Степенной ряд (8.3) сходится в точке x₀ абсолютно, если сходится ряд образованный из модулей членов числового ряда (8.4)

а₀ + а₁x₀ + а₂x₀² + ... а_n x₀ⁿ + ... .

Нахождение области сходимости степенного ряда. Найдем область сходимости ряда (8.3), используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. По этому признаку ряд (5.3) сходится, если

Следовательно, по признаку Даламбера ряд (8.3) заведомо сходится при

и расходится при .

Величина (8.5)

называется радиусом сходимости ряда (8.3). Ряд заведомо сходится в интервале x < R или -R < x < R, который называется интервалом сходимости.

Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках х = . В этих точках сходимость ряда исследовать отдельно.

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при x = R и x = -R.

Пример 1. Исследовать на сходимость степенной ряд

Решение. Используя формулу (8.5), имеем

Интервал сходимости данного ряда характеризуется неравенством x < 2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках x=2. Очевидно, что

Оба эти ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости численных рядов. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости следующего ряда

1 + x + 2²x² + 3³x³ + ... + nⁿxⁿ + ... = 1 +

Решение. По формуле (5.5) найдем

Следовательно, ряд сходится только в одной точке x=0.

Пример 3. Найти область сходимости следующего ряда:

Решение. Так как

то ряд сходится при всех конечных значениях x, т.е. - < x <.

Основные свойства степенных рядов.

1) Во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной x:

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:

3) Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов их интервалы сходимости не меняются.

Пример 4. Найти сумму ряда

(8.6)

Решение. Найдем сначала интервал сходимости этого ряда n

Следовательно, интервал сходимости ряда (-1, +1). Продифференцировав (5.6), имеем

S(x) = 1 + x + x² + ... + xⁿ + ... .

Правая часть этого выражения - геометрический ряд с q = x, который сходится при x<1. Поэтому, используя формулу суммы сходящейся геометрической прогрессии, получим

Отсюда сумму исходного ряда найдем интегрированием

Найдем C. Из (5.6) следует, что S(0) = 0. Следовательно,

0 = - ln (1-0) + C, C = 0.

Таким образом, S(x) = - ln (1-x) = .

Наряду со степенными рядами относительно переменной х часто рассматривают степенные ряды по переменной (x-a), т.е. ряды вида

C₀ + C₁(x-a) + C₂(x-a)² + ... C_n (x-a)ⁿ + ... (8.7)

Очевидно, что этот ряд подстановкой y = (x - a) превращается в ряд типа (5.3). Поэтому, если степенной ряд (5.3) имеет интервал сходимости - R < x < R, то соответствующий ряд вида (8.7) имеет интервал сходимости (a - R) < x < (a + R), центр которого расположен в точке x = a.

Ряд Тейлора. Пусть функция f(x) в точке х = а имеет производные любого порядка. Предположим, что имеется сходящийся степенной ряд

а₀ + а₁(x-a) + а₂(x-a)² + ...+ а_n (x-a)ⁿ + ... = (8.8)

сумма которого равна функции f(x), т.е.

(8.9)

Найдем коэффициенты такого ряда. Очевидно, что f(a) = а₀. Продифференцировав (8.8) в точке х=а, имеем а₁=f(a). Продифференцировав (8.8) в точке х=а дважды, получим а₂ = (f(a))/2. Продолжая дифференцирование равенства (8.8) можно убедится, что коэффициенты ряда (находятся по формуле

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для функции f(x).

В частном случае при a=0 ряд Тейлора имеет вид

f(x) = (8.10)

и его называют рядом Маклорена.

Пример 5. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = e^x.

Решение. Поскольку e^x =(e^x)=(e^x) = ...(e^x)ⁿ, то при x=0 для f(x)= e^x имеем

f(0) = 1; f(0) = 1; f(0) = 1; ...; f⁽ⁿ⁾(0) = 1; ... .

Следовательно, ряд Маклорена функции y = e^x имеет вид

e^x = (8.11)

Ряд (8.11) сходится на всей числовой оси к функции y=e^x.

Пример 6. Разложить в ряд маклорена функцию f(x) = sinx.

Решение. Для функции f(x) = sin x имеем:

Следовательно, ряд Маклорена для sin x:

или

Аналогично получается разложение для функции cos x:

или

cosx= .

Подобным образом можно получить разложения в ряд Тейлора или Маклорена и многих других функций.