Глава 6. Несобственные интегралы
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами.Пусть функция f(x) определена и непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а х <+.
Рассмотрим
интеграл
,
который имеет смысл при всех b > a. При
изменении величины b этот интеграл будет
вести себя как непрерывная функция от
b. Если при бесконечном возрастании
величины b существует конечный предел
,
то он называется несобственным
интегралом от функции f(x) с
бесконечным верхним пределом. Таким
образом, по определению
(6.1)
Если предел в (6.1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом
(6.2)
и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная F(x) для подынтегральной функции f(x), затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т.е.
(6.3)
Пример.
Установить, при каких значениях р
сходится и при каких расходится интеграл
Решение
если p
1,
,
если p = 1,
,
Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:
если
р > 1, то
,
т.е. интеграл сходится,
если
р < 1, то
,
т.е. интеграл расходится,
если
р = 1, то
интеграл расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] за исключением точки с [a,b] . Рассмотрим три случая.
1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f(x) с точкой разрыва на верхнем пределе определяется так
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
2. Функция терпит разрыв в точке а. Тогда по аналогии с предыдущим случаем интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так
Пример.
Исследовать интеграл
Здесь подынтегральная функция
не существует в точке х = 0, поэтому
Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).
3. Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [a,b], т.е. a < c < b.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому
Примеры решения для практики
Пример
1.
.
Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов.
Пример
2. Вычислить
.
Решение. Сравним наш интеграл с табличным
У
нас
,
формально интеграл не табличный.
Используем теорему о линейной замене
переменной:
если , то .
В
интеграле
,
т.е. а = 2, следовательно
.
Проверим полученный результат дифференцированием
Интеграл взят правильно.
Пример
3.
,
т.е.
.
Решение.
Так как
,
то используем теорему о «замене типа
подведение под знак дифференциала»
,
где t = g(x)
У
нас
.
Тогда
Пример
4.
,
т.е.
.
Решение.
Так как
,
то то используем теорему о «замене типа
подведение под знак дифференциала»,
.
Тогда
.
Домножим в числителе на 3, при этом надо
и знаменатель умножить на 3.
.
Проверим дифференцированием
.
Пример 5. Найти .
Решение. Используем теорему о замене переменной
.
Особенностью
данного интеграла является то
обстоятельство, что его подынтегральное
выражение содержит множитель
который является дифференциалом функции
arctg x. Поэтому в данном интеграле
целесообразно ввести замену переменной:
t = arctg x. Отсюда dt = d(arctg(x))
=
и earctg x = et. Подставляя в
исходный интеграл, имеем
=
earctg x + C.
Пример 6. Найти .
Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т.к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx. Поэтому
Пример 7. Найти .
Решение. Используем метод интегрирования по частям
Так как производная от х равна 1, то возьмем u = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.
=
- x cosx
+
= -x cosx
+ sinx +
C.
Пример
8. Найти
.
Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
Следовательно
Пример
9. Найти
.
Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень -1 имеет кратность два. Разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать
Следовательно
Пример
10. Найти
.
Решение. Используем метод разложения на простейшие, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
Приравняем числители
Так
как коэффициенты при одинаковых степенях
х, стоящие слева и справа должны
совпадать, то
.
.
Следовательно
Здесь использовано
Пример
11. Найти
.
Сделаем замену переменной, позволяющую избавится от иррациональности
Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и вычислим получившиеся интегралы
Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и вычислим получившиеся интегралы
Пример
12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
.
Решение.
Построим в системе координат
эти линии. Найдем точки пересечения
этих линий
Рис.1.
Обозначим
эти точки через A и В. Итак,
А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна
разности площадей фигур, ограниченных
линиями
,
,
,
(обозначим эту площадь через S1)
и линиями
,
,
,
(эту площадь обозначим через S2).
Таким образом
S
= S1 – S2
Площадь S2 может быть вычислена с применением определенного интеграла
ед2.
Площадь S1 можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S1 как интеграл
.
Теперь можно вычислить и искомую площадь
S = S1 – S2 = 12 – 5 ln5
Ответ: S =12 – 5 ln5 ед2.
Пример
13. Вычислить объем тела, полученного
вращением вокруг оси О
фигуры, ограниченной прямой
и параболой
.
Найдем
точки пересечения линий. Для этого решим
уравнение
.
Получим
.
Рис. 2.
Объем
тела может быть вычислен по формуле
,
где
,
.
.
Ответ:
.