12. Устойчивость систем управления. Необходимые условия асимптотической устойчивости.

Для того чтобы замкнутая АСР была работоспособной, она должна быть устойчивой.

Устойчивой является АСР, реакция, которой на ограниченное воздействие является также ограниченной величиной.

Устойчивой является та система, которая, будучи выведенной из состояния равновесия, возвращается в исходное состояние после исчезновения воздействия, выведшего систему из состояния равновесия.

Другими словами, если абсолютная площадь, ограниченная импульсной характеристикой w(t), является ограниченной величиной, то АСР будет устойчивой.

Для того, чтобы АСР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ПФ замкнутой системы находились в левой полуплоскости комплексного переменного (рис.7.3).

Наличие хотя бы одного полюса в правой полуплоскости – система неустойчива.

Если хотя бы один полюс находится на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости обозначается штриховкой в сторону области устойчивости.

Для сложных САР вычисление полюсов для установления их устойчивости или неустойчивости может представлять весьма сложную задачу.

Поэтому известно большое количество критериев устойчивости, основанных на использовании определенных математических закономерностей при исследовании САР на устойчивость.

При исследовании устойчивости рассматривается поведение системы при нулевых предначальных условиях, т.е. поведение автономной системы, когда характеристический многочлен правой части равен нулю (вход отсутствует).

A(D)=0

Необходимо чтобы ;

, d_k – корни характеристического уравнения

Для того, чтобы системы была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни асимптотического полинома имели отрицательную асимптотическую часть (находились в левой части).

Если корни находятся на мнимой полуоси, то система нейтрально устойчива.

12. Понятие критерия устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости.

Критерий устойчивости – правило, которое позволяет, не решая характеристическое уравнение, ответить на вопрос, устойчива ли система.

Критерий Гурвица

Пусть имеется линейная система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +...+ a₀ = 0 (5.1)

Составим из коэффициентов уравнения a_i, определитель Гурвица по следующему правилу:

- расположим на главной диагонали коэффициенты a_i, начиная с a_n-1;

- ниже главной диагонали расположим коэффициенты a_i, последовательно увеличивая индекс на единицу, если будут получены несуществующие индексы, пишем ноль;

- выше главной диагонали расположим коэффициенты a_i, последовательно уменьшая индекс на единицу, если будут получены несуществующие индексы, пишем ноль.

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 все главные диагональные миноры определителя Гурвица были положительны.

Если все главные диагональные миноры положительны, а один из них равен 0, то система является нейтральной.

Критерий Гурвица показывает, что устойчивость системы определяется не конкретными значениями параметров, а соотношениями между ними.

Критерий: Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при все определители Гурвица

, , и т.д.

были положительны, т.е. , , , …, .