29.Электромагнитные волны. Волновые уравнения для плоских и сферических волн. Скорость распространения электромагнитных волн.

30. Связь векторов напряженности электрического и магнитного полей и волнового вектора в плоской монохроматической электромагнитной волне. Вектор Умова-Пойнтинга для плоской монохроматической электромагнитной волны.

31.Векторный и скалярный потенциалы. Градиентные (калибровочные) преобразования. Лоренцевская и кулоновская калибровки потенциалов.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла , например - в системе единиц Гаусса в частности уравнение b) - закон отсутствия магнитных зарядов - вектор индукции магнитного поля B из этого уравнения можно представить в виде:

где A -вектор, получивший название векторного потенциала.

Приведённое выше равенство является определением векторного потенциала.

С учетом данного определения уравнение с) - Закон электромагнитной индукции Фарадея - можно переписать в виде:

Из данного равенства вытекает, что =

Здесь ϕ - скалярная функция, называемая скалярным потенциалом. Знак минус в уравнении выше выбран в соответствии с историческими определениями.

Последнее равенство соответствует следующим свойствам ротора :

• Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое)=

• Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:=

Уравнения для потенциалов

Чтобы найти уравнения, которым удовлетворяют векторный и скалярный потенциалы подставим в закон Кулона

(62.a) соотношение (65):

Подставив (63) и (65) в обобщенный закон Ампера (62.d) получим следующие векторное уравнение:

Калибровка потенциалов

Уравнения (68) и (69) позволяют определить значения векторного и скалярного потенциалов, но сами эти уравнения достаточно сложны. Однако в силу произвольности функции x градиентная инвариантность означает, что на A и f можно наложить дополнительные условия, которые называются условиями калибровки потенциалов. Традиционно используются два условия калибровки. Условие калибровки Лоренца:

и условие калибровки Кулона:

Калибровка Лоренца

Уравнения (68) и (69) можно записать в более удобном виде воспользовавшись отмеченной выше калибровочной инвариантностью потенциалов. При этом, если использовать условие калибровки Лоренца (70), то из уравнений (68) и (69) получим неоднородные волновые уравнения д'Аламбера:

Система уравнений (72) совместно с определениями векторного и скалярного потенциалов полностью эквивалентна системе уравнений Максвелла и решение этой системы при отсутствии специальных граничных условий можно выписать при произвольных р и j:

где т = t— |r—r'|/c. Решения неоднородных волновых уравнений (72) вида (73) называются запаздывающими потенциалами, так как значение поля в точке r в момент времени t определяется распределением зарядов и токов в предшествующие моменты времени. Это соответствует принципу причинности в физике. Уравнения (72) имеют также отличные от нуля решения вида(73) в которых т = t + |r - r'|/c. Такие решения называются опережающими и так как они не соответствуют принципу причинности в физических решениях опускаются.

Кулоновская калибровка

При использовании кулоновской калибровки система уравнений Максвелла для определения скалярного и векторного потенциалов будет иметь вид:

Именно потому, что уравнение для скалярного потенциала в этом случае совпадает с уравнением для скалярного потенциала электростатического поля, такая калибровка потенциалов и называется кулоновской.

При описании поля с использованием скалярного потенциала, поверхности на которых значение скалярного потенциала постоянно называются эквипотенциальными поверхностями. Для электростатического поля, так как E = —grad у, силовые линии электростатического поля ортогональны эквипотенциальным поверхностям. На рисунках 11 a,b приведены несколько простейших примеров эквипотенциальных поверхностей для различных систем.