Теорема Гауса

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду

или

Вывод формулы

Электростатическая теорема Гаусса устанавливает математическую связь между потом вектора напряженности через замкнутую поверхность и зарядами, находящимися в объеме, ограниченном данной поверхностью.

П редположим, что имеется некоторый объем V, ограниченный поверхностью S и точечный заряд q внутри этого объема.

Рассмотрим поток N напряженности сквозь эту поверхность.

. (5.1)

_{Так как q точечный заряд. То напряженность поля равна}

, (5.2)

а значит

.

Учтем соотношение ^

где - проекция площади элемента на плоскость, перпендикулярную радиус-вектору , т.е. ^ .

Рассмотрим сферу, на которой выделим площадку и введем понятие телесного угла ,который определим так:

. (5.3)

Для бесконечно малых величин справедливо соотношение: , и тогда из (5.1) с учетом (5.2) и (5.3) получаем:

(5.4)

Полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность из точек внутри объема, равен (телесный угол измеряется в стерадианах: 1 стеррад = ), а поток

(5.5)

Аналогичным образом можно посчитать поток сквозь замкнутую поверхность, если точечный заряд находится вне объема. В этом случае, как можно показать

. (5.6)

Объединяя (5.5) и (5.6) можно окончательно написать:

(5.7)

Утверждение, содержащееся в (5.7) и есть электростатическая теорема Гаусса для точечного заряда. Ее легко обобщить на случай, когда внутри объема находится или система точечных зарядов или непрерывно распределенный по объему заряд, используя принцип суперпозиции:

(5.8)

или

(5.9)

Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона, а значит теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и предположим, что в объеме V заряд распределен непрерывно с объемной плотностью , т.е. . Тогда , откуда легко найти, что

(5.10)

Ввиду произвольности объема, получаем:

(5.11)

Это и есть дифференциальная формулировка закона Кулона или уравнение Максвелла (1831-1879) для .