4.5 Течение жидкости в трубе радиуса r

Для трубы постоянная интегрирования С₁ в уравнении (4.23) равна нулю, иначе при мы получили бы в правой части уравнения , что лишено физического смысла. Отсюда, уравнение (4.23) для течения жидкости в трубе имеет вид

(4.24)

Из него следует, что величина касательных напряжения в жидкости, текущей в ламинарном режиме в трубе, пропорциональна радиусу (рисунок 4.4)

Рисунок 4.4 - Эпюра касательных напряжения и профиль скорости ньютоновской в жидкости, текущей в ламинарном режиме в кольцевом пространстве.

а) Пусть в трубе движется ньютоновская жидкость, реологическое уравнение которой

(4.25)

Подставив (4.25) в (4.24), после интегрирования получим

(4.26)

Постоянную интегрирования найдем из граничного условия. При r=R U(r)=0,тогда С₂= , и

(4.27)

Из (4.27) следует, что при ламинарном течение ньютоновской жидкости в трубе скорость по сечения трубы изменяется по закону параболы (рисунок 4.4)

Найдем расход жидкости

(4.28)

Средняя скорость течения жидкости

(4.29)

Отсюда

(4.30)

где, d=2R – диаметр трубы.

Уравнение (4.30) есть уравнение Пуазейля. Приведем его к стандартному виду уравнения Дарси – Вейсбаха, для чего умножим и разделим правую часть на 2ρU. В результате получим

(4.31)

(4.32)

б) Пусть в трубе в ламинарном режиме движется псевдопластичная жидкость (ППЖ), описываемая уравнением Оствальда - де – Вааля

(4.33)

Подставив (4.33) в (4.25) и интегрируя, получим распределения скорости течения ППЖ по сечению трубы

= (4.34)

Эпюра скоростей при различных m показана на рисунок 4.4.

Рисунок 4.5 - Эпюра скоростей при течении в трубе в ламинарном режиме ньютоновской жидкости «а» и псевдопластичной жидкости «б» при разных значениях показателя нелинейности m.

Интегрируя (4.33) в пределах 0 R, получаем

(4.34)

Средняя скорость течения

(4.35)

Перепад давления

(4.36)

Его также можно привести к стандартному виду уравнения Дарси – Вейсбаха, в котором

(4.37)

в) Пусть в трубе в установившемся режиме движется ВПЖ, описываемая уравнению Бингама

и при (4.38)

Эпюра касательных напряжений имеет вид, что и для ньютоновской и ППЖ (рисунок 4.6). Но в центральной области трубы при , где , будет иметь место течение с , т.е. течение с постоянной скоростью U₀. В периферийной области скорость течения будет изменятся от U₀ до нуля (рисунок 4.6).

Рисунок 4.6 - Эпюра касательных напряжений и осевой скорости при течении в трубе в ламинарном режиме ВПЖ Бингама.

Область канала, в которой жидкость движется с постоянной скоростью и структура раствора не нарушена, называется ядром течения. А режим течения, при котором имеет место ядро течения, часто называют структурным.

Подставляя уравнения (4.38) в (4.24) и интегрируя, получим для периферийной области с учетом граничного условия (U(r) =0 при r=R)

= (4.39)

а для центральной области

(4.40)

Размер ядра течения найдем из условия равенства сил, действующих на ядро течения, Т=F_p

(4.41)

Течение жидкости в трубе начинается, когда на стенке касательные напряжения будут больше ДНС . Начальный перепад давления, при превышении которого начинается течение жидкости Бингама, равен

(4.42)

Интегрируя (4.39) в области с учетом (4.40), (4.41) и (4.42) получим

(4.43)

Средняя скорость течения

(4.44)

Уравнения (4.43) и (4.44) носят название уравнений Букингама.

Существуют различные методы разрешения уравнения Букингама относительно .

При <0,5 последним членом в квадратных скобках уравнения Букингама можно пренебречь (ошибка при этом будет не больше 2,3 %). Тогда из упрощенного уравнения Букингама

(4.45)

Получим

(4.46)

Его также можно преобразовать к виду уравнеия Дарси – Вейсбаха.

Введем обобщенный параметр Рейнольдса ВПЖ

(4.48)

Тогда зависимость (4.47) примет вид

(4.49)

Решение уравнение Букингама без такого упрощения. Согласно И.Х. Гродде приведем уравнение (4.44) к безразмерному виду. Для этого умножим обе части уравнения на 𝜼/ и обозначим =β. Тогда левая часть уравнения будет иметь вид

(4/50)

Множитель перед квадратной скобкой в правой части уравнения будет равен

(4.50)

Тогда уравнение Букингама будет приведено к виду

(4.52)

где Sen – параметр Сен – Венана

Поскольку = = , зная величину параметра Сен – Венана, по кривой определяется величина , а затем уже перепад давления

= (4.53)