2. Частные коэффициенты корреляции

Ранжирование факторов, участву­ющих в множественной линейной регрессии, может быть прове­дено через стандартизованные коэффициенты регрессии ( –коэффициенты).

Эту же цель можно достичь с помощью част­ных коэффициентов корреляции для линейных связей.

При не­линейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при отборе факто­ров: целесообразность включения того или иного фактора в мо­дель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характери­зуют тесноту связи между результатом и соответствующим факто­ром при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Если выразить остаточную дисперсию через показатель де­терминации

, (13)

формула коэффициента част­ной корреляции примет вид:

, (14)

Соответственно

, (15)

Рассмотренные показатели частной корреляции принято на­зывать коэффициентами (индексами) частной корреляции пер­вого порядка, ибо они фиксируют тесноту связи двух переменных при закреплении (элиминировании влияния) одного фактора.

Если рассматривается регрессия с числом факторов то воз­можны частные коэффициенты корреляции не только первого, но и второго, третьего, ..., порядка, то есть влияние фактора можно оценить при разных условиях независимости действия других факторов:

– при постоянном действии факторов ;

– при постоянном действии факторов и ,

– неизменном действии всех факторов, включенных в уравнение регрессии.

Сопоставление коэффициентов частной корреляции разных порядков по мере увеличения числа включаемых факторов показывает процесс «очищения» связи результативного признака исследуемым фактором.

Хотя частная корреляция разных порядков и может представ­лять аналитический интерес, в практических исследованиях предпочтение отдают показателям частной корреляции самого высокого порядка, ибо именно эти показатели являются допол­нением к уравнению множественной регрессии.

В общем виде при наличии факторов для уравнения

, (16)

коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на фактора , при неизменном уровне других факторов, можно оп­ределить по формуле

, (17)

где – множественный коэффициент детерминации всего комплекса факторов с результатом;

– показатель детерминации, но без введения в модель фактора .

При формула коэффициента частной корреляции примет вид:

, (18)

Данный коэффициент частной корреляции позволяет измерять тесноту связи между и , при неизменном уровне всех других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, – коэффициент частной корреляции первого порядка, соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно найти через коэффициен­ты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле

, (19)

При двух факторах и данная формула примет вид:

, (20)

Соответственно при и двух факторах частный коэффици­ент корреляции с фактором можно определить по формуле

, (21)

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэф­фициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции первого порядка. Так, по уравнению

, (22)

можно исчислить три частных коэффициента корреляции второго порядка:

; ;

каждый из которых определяется по рекуррентной формуле.