1.Классификация функций нелинейных регрессий

2.Использование функций нелинейных регрессий в практической деятельности

1. Классификация функций нелинейных регрессий

Если между экономическими явлениями существуют нели­нейные соотношения, то они выражаются с помощью соответ­ствующих нелинейных функций:

–равносторонней ги­перболы

, (1)

–параболы второй степени

, (2)

Различают два класса нелинейных регрессий:

– регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым пара­метрам;

– регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объ­ясняющим переменным могут служить следующие функции:

полиномы разных степеней:

, (2)

, (3)

– равносторонняя гипербола

, (1)

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от­носятся функции:

–степенная

, (4)

– показательная

, (5)

– экспоненциальная

, (6)

Нелинейная регрессия по включенным переменным не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяют­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо­ле второй степени

, (7)

заменив переменные , получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии:

, (8)

для оценки параметров которого ис­пользуется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

, (9)

при замене , получим трехфакторную модель линейной регрессии

, (10)

а для полинома порядка

, (11)

получим линейную модель множественной регрессии с объяс­няющими переменными:

, (11)

Следовательно, полином любого порядка сводится к линей­ной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Как показывает опыт большинства исследователей, сре­ди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего использу­ется парабола второй степени; в отдельных случаях – полином третьего порядка.

Ограничения в применении полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследу­емой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше из­гибов имеет кривая и соответственно меньше однородность совокупности по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если ля определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь изменяется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяет­ся значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

, (12)

Если же исходные данные не обнаруживают изменения нап­равленности связи, то параметры параболы второго порядка ста­новятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заме­няется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

, (14)

Решить ее относительно параметров можно методом

определителей:

, (15)

, (16)

, (17)

где – определитель системы;

– частные определители для каждого из параметров.

При , кривая симметрична относительно высшей точки, то есть точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости зара­ботной платы работников физического труда от возраста – с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду однов­ременного увеличения опыта и повышения квалификации работ­ника. Однако с определенного возраста ввиду старения организ­ма и снижения производительности труда дальнейшее повыше­ние возраста может приводить к снижению заработной платы работника. Если параболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение уровня значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором дости­гается максимум.

Так, предполагаем, что потребление товара А (единиц) в зависимости от уровня дохода семьи (тыс. руб.) харак­теризуется уравнением вида

Приравнивая к нулю первую производную , найдем вели­чину дохода, при которой потребление максимально, то есть при тыс. руб.

При и парабола второго порядка симметрична от­носительно своего минимума, что позволяет определять мини­мум функции в точке, меняющей направление связи, то есть сниже­ние на рост. Так, если в зависимости от объема выпуска продук­ции затраты на производство характеризуются уравнением

то наименьшие затраты достигаются при выпуске продукции х = 15 ед., то есть

В этом нетрудно убедиться, подставив в уравнение значения х:

Х	10	11	12	13	14	15	16	17
У	800	782	768	758	752	750	752	758

Ввиду симметричности кривой параболу второй степени да­леко не всегда можно использовать в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы. Поэтому если график зависимости не демонстри­рует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной. В литерату­ре часто рассматривается парабола второй степени для характе­ристики зависимости урожайности от количества внесенных удобрений. Данная форма связи мотивируется тем, что с увеличе­нием количества внесенных удобрений урожайность растет лишь до достижения оптимальной дозы вносимых удобрений. Даль­нейший же рост их дозы оказывается вредным для растения, и урожайность снижается. Несмотря на справедливость данного утверждения, следует отметить, что внесение в почву минераль­ных удобрений проводится на основе достижений агробиологической науки. Поэтому на практике часто эта зависимость предс­тавлена только сегментом параболы, что и позволяет использовать другие нелинейные функции.