7.5 Физические уравнения круговой цилиндрической оболочки

Установим зависимости между усилиями и деформациями в круговой цилиндрической оболочке. Для этого воспользуемся формулами закона Гука (1.2). Чтобы перейти к системе координат x, , z, связанной со срединной поверхностью оболочки, в этих формулах достав точно заменить индекс y на . В результате с учетом зависимости (1.1) получаем

(а)

На основании второй из принятых гипотез нормальное напряжение σ_z = 0. В связи с этим два первых уравнения (а) упрощаются:

Отсюда находим зависимости между нормальными напряжениями и линейными деформациями в цилиндрической оболочке:

(б)

Касательное напряжение , согласно четвертому уравнению (а),

(а)

а касательные напряжения τ_θz и τ_zx, согласно условиям (7.7), равны нулю.

Подставляя в формулы (б) и (в) выражения деформаций (7.9), получаем

(г)

Внесем значения напряжений (г) в выражения усилий (7.4):

После интегрирования получаем

(7.11)

Здесь введено обозначение цилиндрической жесткости оболочки, аналогичное цилиндрической жесткости пластинки:

(7.12)

Уравнения (7.11) представляют собой упрощенные физические уравнения теории тонких оболочек. Они выражают зависимость между усилиями и деформациями в тонкой круговой цилиндрической оболочке.

Таким образом, для решения задачи о напряженно-деформированном состоянии тонкой круговой цилиндрической оболочки имеем 15 уравнений: три уравнения равновесия (7.5), шесть уравнений деформаций (7.10) и шесть физических уравнений (7.11). Эти уравнения включают в себя 15 неизвестных: шесть усилий – N_x, N_θ, S, M_x, M_θ, H; шесть составляющих деформации – , , , , , и три составляющих перемещения – u₀ , ₀ и .

7.6 Осесимметричное нагружение замкнутой круговой цилиндрической оболочки

Решение системы 15 уравнений (7.5), (7.10) и (7.11) с 15 неизвестными в общем случае нагружения оболочки представляет большие математические трудности. Рассмотрим один из простых, но практически интересных случаев — замкнутую круговую цилиндрическую оболочку, нагруженную симметрично относительно ее оси (рис. 7.14).

Рис. 7.14. Замкнутая круговая цилиндрическая оболочка

Осевая симметрия позволяет значительно упростить основные уравнения. Усилия, деформации и перемещения благодаря симметрии не зависят от полярного угла , поэтому все производные по в указанных уравнениях обращаются в нуль. Сдвигающие усилия S и крутящий момент H также обращаются в нуль. Из составляющих поверхностных нагрузок отлична от нуля только одна — . С учетом отмеченных упрощений дифференциальные уравнения равновесия (7.5) принимают вид

(а)

Первое из уравнений (а) указывает, что нормальная сила не зависит от координаты x и, следовательно, постоянна. Она не входит в остальные уравнения, поэтому ее можно определять независимо от остальных усилий; будем считать .

Остается рассмотреть последнее уравнение (а). В него входят два неизвестных усилия: M_x и N_θ.

Внесем в выражения усилий (7.11) деформации из формул (7.10) и учтем осевую симметрию:

Из первого уравнения следует, что

Внося это соотношение во второе уравнение, получим интересующие нас усилия в таком виде:

(7.13)

Формулы (7.13) могут быть получены из формул (7.11), если в них принять . Поэтому при рассмотрении приближенных решений в теории оболочек пользуются упрощенной системой физических уравнений (7.11), полагая в них .

Подставляя формулы (7.13) в последнее уравнение (а), находим

(7.14)

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности замкнутой круговой цилиндрической оболочки, нагруженной симметрично относительно оси. Для интегрирования уравнения удобно ввести безразмерную координату . Параметр

(7.15)

имеет размерность 1/ L, где L — размерность длины.

В безразмерных координатах уравнение (7.14) принимает вид

(7.16)

Это дифференциальное уравнение совпадает с известным дифференциальным уравнением изгиба балки, лежащей на упругом (винклеровском) основании. Его решение можно представить в форме

(7.17)

где , , , и — произвольные постоянные; , , и — фундаментальные функции акад. А. Н. Крылова, имеющие следующий гиперболо-тригонометрический вид:

(б)

Эти функции табулированы (см.: Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. АН СССР, 1931; Филоненко-Бородич М. М. Курс сопротивления материалов, т. II, М., 1956).

Частное решение уравнения (7.16) может быть выражено с помощью фундаментальных функций А. Н. Крылова интегралом

(7.18)

Найдя функцию прогибов (7.17), можно определить углы поворота φ, изгибающий момент , поперечную силу и нормальную силу :

(7.19)