7.11 Понятие о краевом эффекте. Краевой эффект в сферической и цилиндрической оболочках

Решение системы уравнений предыдущего параграфа позволяет определить усилия и напряжения в симметрично нагруженной оболочке вращения по моментной теории. Сравнение напряжений, получаемых по моментной и безмоментной теориям, приводит к выводу, что в тонких оболочках они мало отличаются. Таким образом, можно считать, что безмоментная теория дает удовлетворительные результаты, если граничные условия являются безмоментными, т. е. обеспечивают краям оболочки свободные перемещения в направлении нормали к поверхности.

Рассмотрим теперь напряженное состояние оболочки вращения, край которой закреплен от смещения в направлении нормали к поверхности. В закреплении возникают реакции, которые вызывают напряженное состояние, связанное с изгибом и быстро затухающее при удалении от края. Такое напряженное состояние, как уже отмечалось, носит название краевого эффекта.

Область затухания краевых эффектов оказывается очень узкой: для достаточно тонких оболочек она исчисляется долями R. Краевой эффект — совершенно особое явление, характерное лишь для тонких оболочек. Он не связан с принципом Сен-Венана, а обусловлен только малой толщиной оболочки и искривлением ее срединной поверхности.

Составим основные уравнения, описывающие рассматриваемое напряженное состояние. В задаче о краевом эффекте поверхностная нагрузка отсутствует и уравнения равновесия (7.28) являются однородными:

(7.32)

В качестве геометрических соотношений воспользуемся уравнениями (7.30), добавив к ним выражение (7.29), представляющее собой изменение угла наклона касательной к меридиану после деформирования. Значение удобно использовать для упрощения решения, так как через него могут быть выражены изменения кривизны:

(7.33)

Для определения обратимся к рис. 7.21, где показан элемент меридиана оболочки до и после деформирования.

Из чертежа следует, что до деформирования

(а)

Рис. 7.21. Элемент меридиана оболочки до и после деформирования

После деформирования угол изменяется до , радиус r становится равным , длина дуги меридиана возрастает до и соотношение (а) принимает вид

или

После упрощения с учетом малости деформаций получаем

откуда

(7.34)

В качестве физических зависимостей используем уравнения (7.31). Таким образом, получаем систему 12 уравнений: (7.30), (7.31) (7.32) и (7.34) для определения 12 неизвестных функций: пяти усилий ( , , , , ), четырех деформаций ( , , , ), двух перемещений ( , w) и изменения угла наклона касательной к меридиану .

Интегрирование этой системы уравнений представляет значительные трудности. Точное решение задачи показывает, что у края возникает напряженное состояние, имеющее форму быстро затухающего колебания при удалении от этого края. Это позволяет построить приближенную теорию расчета краевого эффекта. Анализ функций, характеризующих затухание колебания с большим коэффициентом затухания, показывает, что значение производной такой функции всегда больше значения самой функции на величину коэффициента затухания. Поэтому при суммировании усилий, деформаций и перемещений в оболочке с их производными можно принимать во внимание лишь производные высшего порядка.

Приближенная теория краевого эффекта имеет ограниченное применение. Она дает хорошие результаты лишь при . В этом случае в выражении (7.34) не мешает пренебречь линейными деформациями и по сравнению с производной ; указанное выражение может быть представлено в упрощенной форме:

(б)

Таким же образом упростим все остальные уравнения краевого эффекта. Исключив из первых двух уравнений равновесия усилие , получим

или

После интегрирования находим

При расчете оболочки вращения по безмоментной теории, когда , произвольная постоянная C пропорциональна равнодействующей поверхностных сил. Так как задача о краевом эффекте является однородной, то эта равнодействующая равна нулю, а значит, и постоянная тоже равна нулю. Таким образом,

(в)

Подставив это выражение во второе уравнение равновесия, получаем

откуда после указанных упрощений

Из первых двух формул (7.31) имеем

После подстановки усилий (в) и (г) получаем

или после упрощения

(д)

Из третьего уравнения равновесия (7.32) после дифференцирования и упрощения находим

(е)

Третья формула (7.31) после подстановки в нее значений кривизны (7.33) принимает вид

или после упрощения

(ж)

Подставив выражение (ж) в (е), после упрощения получим

(з)

Подставив выражение (з) в (д), найдем

Внеся последнее равенство в формулу (б), получим приближенное дифференциальное уравнение краевого эффекта:

(7.35)

где

Уравнение (7.35) можно выразить относительно поперечной силы . Для этого нужно в выражение (з) подставить последовательно формулы (б) и (д). В результате после упрощений получим

(7.36)

Рассмотрим решение записанного уравнения для сферической оболочки. В этом случае радиусы кривизны одинаковы: , а уравнение (7.36) принимает вид

Его решение можно представить в такой форме:

(и)

Для удобства дальнейших расчетов введем новые переменные и : Согласно рис. 7.22, , . Тогда решение (и) буде выглядеть так:

(7.37)

Оно состоит из двух частей: первая представляет собой колебания, затухающие от нижнего края, а вторая — от верхнего. Следовательно, если интересует краевой эффект нижнего края, то надо пользовать первой частью решения (7.37), которая зависит от φ₁, рис. 7.22:

(7.38)

Рис. 7.22. Введение новых переменных

Для верхнего края берется вторая часть решения, зависящая от :

(7.39)

С помощью полученных формул легко вычисляются угол ψ и остальные усилия. Так, для нижнего края сферической оболочки

(7.40)

Для верхнего края

(7.41)

Дальнейший ход решения задачи заключается в следующем. Производится расчет оболочки по безмоментной теории: из уравнений (7.3) определяются усилия и . Общее решение задачи получается суммированием усилий краевого эффекта и усилий, полученных по безмоментной теории. Затем из граничных условий определяются произвольные постоянные общего решения.

Для исследования краевого эффекта в цилиндрической оболочке воспользуемся уравнением (7.16). Соответствующее ему однородное уравнение

имеет решение

(к)

Аналогично представлению функции (7.37) в виде двух независимых решений (7.38) и (7.39), решение (к) также можно разбить на два:

Первое из них справедливо, например, для левого края оболочки, от которого отсчитывается координата ; второе справедливо для правого края, откуда отсчитывается координата .

После этого по формулам (7.13) определяются усилия краевого эффекта: для левого края

для правого

Общее решение задачи получается суммированием усилий краевого эффекта и усилий, полученных по безмоментной теории, так же это было показано для сферической оболочки. Существование краевого эффекта у защемленного края замкнутой круговой цилиндрической оболочки подтверждает ранее рассмотренный рис. 7.15. Даже в короткой оболочке изгибающий момент М_x и поперечная сила затухают при удалении от защемленного края. У нормальной силы затухает та часть усилия, которая вызывается краевым эффектом; (на рисунке ей соответствует эпюра, изображенная сплошной линией).