4. Повний приріст. Повний диференціал функції 2-х незалежних змінних,застосування в наближених обчисленнях.

Величину Δz = f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y) (1) наз. повним приростом функції в точці (x,y).

Припустимо, що z = f (x; y) має неперервні частинні похідні в точці (x; y). Виразимо Δz через частинні похідні, для цього до рівності (1) додамо і віднімемо величину f(x; y+Δy).

Δz = f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y) + f(x,y+Δy) - f(x,y+Δy) = [f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y+Δy)] + [f(x,y+Δy) - f(x,y)].

До виразів в квадратних дужках застосуємо теорему Лагаранджа: f(b)-f(a)=f '(c)(b-a).

f (x+ Δx;y+Δy) - f(x,y+Δy) = x< ẍ< x+∆x.

f(x,y+Δy) - f(x,y) = ∆y, y< ȳ< y+∆y

Т ак як частинні похідні за припущенням неперервні, то , а . нескінченно мала функція.

а .

- нескінченно мала функція.

z = α₁ +α₂

Диференціалом функції наз. головна частина приросту функції лінійна відносно ∆х і ∆у і позначається:

dz = ∆z dz

f(x+ Δx;y+Δy) f(x;y)+ .

5. Частинні похідні вищих порядків

Частинними похідними другого порядку функції, z = f (x;y) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку, якщо вони існують.

Частинні похідні другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються частинні похідні більш високого порядку.

Частинна похідна другого або більш високого порядку, взята за деякими різними змінними, називається мішаною частинною похідною.

Теорема.

Дві мішані частинні похідні однієї й тієї ж функції, що відрізняються лише порядком диференціювання, дорівнюють одна одній за умови їх неперервності

6 . Похідна за напрямком. Градієнт функції декількох змінних.

Розглянемо в області D функцію z=F(x;y) і

т очку M₀(x₀;y₀). Проведемо із т. M₀

о диничний вектор під кутом до осі Ох.

На векторі, на відстані ∆ℓ від т. М₀

візьмемо т. М(х;у).

Тоді ММ₀= , а повний приріст функції ∆f = f(M) – f(M₀).

Припустимо, що функція z=f(x;y) має неперервні часткові похідні по своїм аргументам в області D. Тоді повний приріст визначається

∆f = α₁ +α₂

В ідношення ∆f(x;y)до ∆ ℓ ( визначає середню швидкість зміни функції в напрямі .

П охідною функції z = z(x;y) в т. М₀(x₀;y₀) за напрямом вектора ℓ наз. границя .

З усіх напрямків ℓ, що виходять із т. М₀, потрібно знайти такий напрям, в напрямку якого похідна набувала найбільшого значення - це напрям градієнта.

Градієнтом функції z=f(x;y) в т. М₀(x₀;y₀) наз. вектор з початком в т.М₀, який має своїми координатами часткові похідні функції z.

Якщо U(x;y;z), то (1)

В раховуючи формулу (1) похідну за напрямком можна записати у вигляді = │ │ ∙ cos ϕ

ϕ – кут між grad i . Оскільки є одиничний вектор, то з останньої рівності випливає, що похідна за напрямком набуває найбільшого значення коли ϕ= 0⁰ , тобто коли напрям вектора і градієнта збігаються, тобто градієнт показує напрям найшвидшого зростання функції в даній точці.