2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамора. Решение систем линейных однородных алгебраических уравнений.

Теорема Крамора: если главный определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Замечание: х₁*del=delx₁; x₂*del=delx₂

Если del=0, delx₂ не равно 0, то решений нет, если delx₁ =0, то система имеет бесконечное множество решений.

1. Находим определитель

2. Находим delx, dely, delz…

3. Находим x,y,z по формулам

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.

Методы решений: метод Гауса и матричный метод

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид , где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.

А₁₁=+I…I=… A₂₁=-I…I=… A₃₁=+I…I=…

X=A^-1*B

Метод Гауса – это универсальный метод решения системы

3. Действия над матрицами и их св-ва.

Произведением матрицы A=(aij) на число α называется такая матрица B=(bij),элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число α, т.е. bij= α·aij Обозначают: α·A

Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij)одинакового размера, называется такая матрица C=(cij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. cij= aij+ bij.

Обозначают: A+B

Свойства линейных операции над матрицами

1) A + B = B + A (коммутативность сложения матриц);

2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц);

3) A + O = A;

4) A + (–A) = O;

5) α⋅ (βA) = (α⋅β)A (ассоциативность относительно умножения

чисел);

6) (α + β)A = αA + βA (дистрибутивность умножения на матрицу

относительно сложения чисел);

7) α(A + B) = αA + αB (дистрибутивность умножения на число

относительно сложения матриц);

8) 1 ⋅ A = A.

3. Нелинейные операции над матрицами

1) Умножение двух матриц;

2) Транспонирование матрицы.

Произведением матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется число c, равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е. c = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + …+ a1n · bn1 .

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m × k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е. cij= ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + …+ ain · bnj.

Обозначают: A·B, AB.

Свойства операции умножения матриц

1) AE = EA = A , AO = OA = O;

2) (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения матриц);

3) (A + B)C = AC + BC ;

4) C(A + B) = CA + CB .

Свойства операции транспонирования матриц

1) (AТ )T = A ;

2) (A + B)T = AT + BT ;

3) (αA)T = αAT ;

4) (A · B)T = BT · AT .

4. Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Свойства обратной матрицы:

,где обозначает определитель.

, для любых двух обратимых матриц.

где обозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента .

Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид , где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица-столбец свободных членов.

А₁₁=+I…I=… A₂₁=-I…I=… A₃₁=+I…I=…

X=A^-1*B