20. Общее определение производной.
Понятие производной:
Пусть задана некоторая функция
.
Возьмем какое-нибудь значение
из
области определения этой функции:
.
Соответствующее значение функции в
этой точке будет равно
.
Приращением
аргумента
называется разность между двумя
значениями аргумента: "новым" и
"старым". Обычно обозначается как
.
Приращением функции
в
точке
,
соответствующее приращению аргумента
,
называется величина:
Определение производной:
Производной
от
функции
в
точке
называется
предел
отношения приращения функции
к
приращению аргумента
:
при
,
если он существует, то есть:
или
21. Геометрический смысл производной.
Геометрический смысл производной:
Средней скоростью
изменения функции
при
переходе независимой переменной от
значения
к
значению
называется
отношение приращения
функции
к приращению
независимой
переменной, то есть
Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :
Механический смысл производной:
Пусть задан путь
движения
материальной точки. Скорость данной
материальной точки в момент времени
есть
производная от пути
по
времени
:
Геометрический смысл производной
Производная функции
,
вычисленная при заданном значении
,
равна тангенсу угла, образованного
положительным направлением оси
и
положительным направлением касательной,
проведенной к графику этой функции в
точке с абсциссой
:
Замечание:
Геометрически производная представляет
собой угловой коэффициент касательной
к графику функции
в
точке
.
22. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью ф-ции.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.
Функция
имеет
производную на интервале
или
называется дифференцируемой
в этом интервале,
если производная
существует
в каждой точке этого интервала.
Функция
имеет
в точке
бесконечную
производную,
если в этой точке
.
Теорема: (О непрерывности функции в точке)
Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.
Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:
где
-
число, не зависящее от
,
-
б.м. функция при
.
Теорема: (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)
Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную.
Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.