4.Единица равна минус единице.

Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х²=1, или х²-1 = 0. Раскладывая х²-1 по формуле разности квад­ратов, получим

(х+1)(х-1) = 0. (1)

Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем

х + 1 = 0 и х = -1. (2)

Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству

1 = -1.

5.Если одно число больше другого, то эти числа равны

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых рав­на d, т. е. a + b + c = d.

Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим

ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства та + mb + тс = md , nd = na + nb + nc, получим

ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем

та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,

а вынося слева число т, а справа число п за скобки, при­дем к соотношению

т(а + b + с - d) = п (а + b + с - d), (1)

откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что

m= n.

6.Все натуральные числа ,большие единицы, равны между собой.

Рассмотрим известные алгебраические формулы

x²-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х² + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем

х^п -1 = (х - 1)(х^п-1 + х^п-² + ... + x² + x + l).

Разделив обе части этих формул на х-1, получим

При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение , поэтому должны быть равны и их правые ча­сти, откуда получаем, что

2 = 3 ⁼ ••• = n.

7.Любое число равно

Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:

x- = z- (1)

-z = -z (2)

Сложив эти два равенства почленно, получим

х-г = - (3)

Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину вместо равенства (3) получим

x + - -z = - или, что, очевидно, то же самое,

х + - -z = - (4)

В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде ( + ) а третий и четвертый — в ви­де ( + ) . В результате этих преобразований равенство (4) примет вид

( + ) - ( + ) = - (5)

и окончательно может быть записано так:

( + ) ( - )= - (6)

(если вынести за скобки общий множитель ( + ) в левой части равенства).

Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия

+ = l, (7)

а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что

2 = 1, или = , откуда х =

т. е. произвольное число равно .