§ 4. Логика Гильберта – Аккермана

Остановимся еще некоторое время на Давиде Гильберте, безусловно самой крупной фигуре современной логистики, которому кстати принадлежит и систематический очерк именно математической логики, а не только логически обработанной математики. Это – D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 1937². Приведем отсюда несколько данных.

1. Читаем вступительные замечания.²⁶ «Первую необходимую составную часть математической логики образует так называемое исчисление высказываний. Под высказыванием надо понимать всякое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, что его содержание истинно или ложно». Гильберт отказывается в данном месте входить в «более тонкую структуру высказываний» и анализировать, напр<имер>, отношение субъекта и предиката, а берет высказывание как целое (3). Таким образом, уже с первых строк здесь вводится непроанализированное высказывание, на котором потом будет строиться вся логика. Что есть высказывание или суждение, известно, разумеется, всем и без всякой логики. Но ведь что такое дождь, снег, гром, молния, что такое пищеварение или кровообращение тоже всем известно; и это еще не значит, что не нужны ни метеорология, ни физиология.

Единственный определенный момент, выставленный здесь, есть истинность или ложность. Но что такое истинность и ложность, здесь опять-таки не говорится. Конечно, Гильберт опять скажет, что и без этого все понимают, что такое истинность и что такое ложность. Однако такая ссылка на «всех» в устах Гильберта была бы не только пустой отговоркой, но и в корне неправильной. Если брать действительно «всех», то эти «все» понимают истинность и ложность, конечно, материально, а вовсе не только формально, не говоря уже о том, что разных пониманий истинности и ложности фактически существует в человеческой истории бесконечное количество. Разные понимания истинности или ложности существуют и в самой логике. Так, с легкой руки Аристотеля, часто говорят, что истинность и ложность возможны только в отношении суждений, и что понятия сами по себе не истинны и не ложны. Однако не только суждения, но и понятия тоже могут быть истинными или ложными, так, напр<имер>, ложно понятие круглого квадрата или деревянного железа; то же, конечно, надо сказать и об умозаключении. Как показывает последующее, сам Гильберт понимает истинность и ложность отнюдь не как «все», но весьма оригинально, если не прямо фантастично.

Что же такое тогда «высказывание»? Если под высказыванием понимать то, что понимают «все», т.е. нечто словесное, а не специально логическое, то одному логическому содержанию может соответствовать множество разных высказываний, и одному высказыванию может соответствовать масса разных понятий, суждений и умозаключений. Вся эта проблематика начисто отсутствует в логике Гильберта.

Таким образом, в основу построения логики у Гильберта положено два совершенно сырых, совершенно непроанализированных и догматических понятия, именно «высказывания» и «истинности».

2. Далее, в § 1 Гильберт–Аккерман «вводят основные логические связи». Чтобы не обременять типографию, мы не будем приводить все употребляемые здесь символические знаки, которые к тому же способны только затруднять лиц, не привыкших к математическим формулам. Кроме того, важно не то,  как обозначать логические тезисы, а важны самые эти тезисы.

Эти «основные логические связи», по Гильберту–Аккерману, следующие: контрадикторная противоположность, «и», «или», отношение условия и обусловленного и «равнозначность». Это прямо-таки поразительно. Откуда взяты все эти отношения? Почему их взято пять, а не больше и не меньше? Почему взяты именно эти отношения, а не другие? Какая между ними связь и есть ли эта связь? Разумеется, авторы много думали, прежде чем ввести именно эти, а не другие «основные логические связи». Но что же делать их читателям? Взять все эти утверждения на веру? Прочитать и догматически усвоить? Достойно всяческого удивления столь догматическое декретирование истин в науке, которая вся насквозь есть доказательство и критика. Но попробуйте сами, без помощи этих авторов, отдать себе отчет в этих «основных логических связях».

Правда, традиционная формальная логика тоже не блещет обоснованностью и систематикой своих исходных утверждений. Но это, конечно, не есть предмет для подражания.

Уже краткое размышление обнаруживает, что здесь мы имеем многих давнишних знакомцев. Первый тип устанавливаемой здесь связи, очевидно, противоречие. Правда, это в логике отнюдь не самая первая категория; чтобы ее понять и вывести, нужны еще другие категории. Но метод некритического перечисления ничем не связанных между собою принципов, конечно, мог легко привести к тому, что позднейший тезис оказался на первом месте. Хуже всего, однако, то, что, как мы сейчас увидим, тут только чисто словесно речь идет о контрадикторности. На самом деле тут мыслится у Гильберта гораздо более простая категория, но об этом дальше.

Далее, более или менее отчетливо выступают четвертая и пятая категории, т.е. условие и равнозначность. Правда, Гильберт не хочет говорить здесь ни об условии и обусловленном, ни об основании и следствии. Но все же это, как мы сейчас увидим, до некоторой степени так. И тогда – отношение условия и обусловленности сродни отношению основания и следствия, а равнозначность сродни тождеству. Итак, тождество, противоречие и основание – вот, по крайней мере, с внешней стороны, смысл всех этих первичных логических связей; а, значит, тут мы имели бы попросту некую неясную модификацию трех основных законов формальной логики, – тождества, противоречия и достаточного основания. Законы эти здесь, если их тут находить, однако, подверглись максимальной формализации. Из них выкинуто всякое реальное содержание, и «истинность», и «ложность» понимаются здесь совершенно условно.

Пойдем далее. Что такое второй и третий тип логической связи у Гильберта–Аккермана, «и» и «или»? Трудно понять, что это значит при столь догматическом и бездоказательном способе изложения.²⁷ Казалось бы, это есть категория соединения и разделения. Но даже если бы это было и так, то из того, что всякий понимает, что такое соединение и разделение, отнюдь еще не следует, что этих категорий никак не надо разъяснять. Конечно, все понимают, что такое «и» и «или». Но мало ли кто что понимает? Все «знают», что такое электричество и даже все умеют им пользоваться. Но все ли обладают понятием электричества? Главное же, что Гильберт под своими «и» и «или» понимает, как и все логистики, вовсе не то, что под этим обычно понимается. «И» есть обычно соединение, а у Гильберта, как мы сейчас увидим, это есть скорее разъединение, ибо соединение разного – это ведь и есть подчеркивание разъединения по смыслу. «Или» тоже хотелось бы понимать разделительно, так, как понимает его традиционная логика. Но оказывается, что это «или» здесь надо понимать не в смысле латинского aut-aut, но в смысле латинского vel-vel, т.е. в смысле приравнения, общения, совпадения.²⁸ Таким образом, «или» в логистике есть не разделение, а, наоборот, совпадение. Однако все это, конечно, есть условность. Дело не в терминологии, а в существе употребляемых категорий; существо останется здесь совершенно невыясненным, имеется ли тут в виду разделение или имеется в виду совпадение. Это – скорее категории бытия, чем мышления. И если относить их к логике, то они отнюдь не мыслятся среди первичных категорий логики. Какая их связь с тождеством и противоречием, это требует пристального анализа. По-видимому, если применить метод остатков, то обе эти категории должны были бы соответствовать тому четвертому логическому закону формальной логики, который остался у авторов до сих пор не затронутым, т.е. закону исключенного третьего. Но как именно надо связывать «соединение» и «разделение» (т.е. совпадение) <с> законом исключенного третьего, это тоже требует четкого анализа, проводить который мы тут вместо Гильберта, конечно, не будем.²⁹

3. Однако оставим все эти домыслы и догадки, основанные на буквальном и чересчур осторожном отношении  к учению Гильберта. Таким путем, действительно, ни до чего не дойдешь, и всякие догадки и домыслы по необходимости должны здесь повисать в воздухе. Перейдем  к другому методу понимания этих начальных и фундаментальных утверждений Гильберта. Мы будем исходить из двух тезисов: будучи ученым с огромным именем, Гильберт не мог давать заведомой абракадабры или бессвязной системы мыслей; и – Гильберт как абсолютный формалист и враг наглядной предметности, старательнейшим образом запрятывает свои исходные интуиции, сам в то же время неизменно пользуясь ими и находя именно в них оправдание для своих утверждений. Если мы будем исходить из этих тезисов, то нам предстоит указать то простое и наглядное, что использовал Гильберт в своей теории «логических связей» и что он запрятал до полной неузнаваемости и даже до полного якобы пренебрежения.

Энгельс говорит о том, что мышление есть форма движения (Диал<ектика> прир<оды>. 1941, <с.> 46). Форма эта, конечно, специфическая. Необходимо установить хотя бы в самых общих чертах, что это за форма.

Прежде всего, может ли существовать мышление без различения? Конечно, нет. Мыслить – это и значит в первую голову различать. Что же делает Гильберт? Давая картину основных логических связей, он, конечно, ни в каком случае не может не учитывать различающей деятельности логического мышления, ибо установить какую бы то ни было логическую связь и между чем бы то ни было – это значит, прежде всего, различать то, что в данном случае должно быть связано. Но констатировать по-простому эту самую естественную, самую простую и самую наглядную форму и категорию логического мышления Гильберт не может. Ему нужно формулировать это так, чтобы была и полная бессодержательность и полная относительность этой стороны мышления. Поэтому он здесь говорит о связи Х с не-Х, принимая, что из этих двух последних одно должно быть истинным, если другое ложно, и называя эту связь «контрадикторной противоположностью». В сущности говоря, здесь мы имеем констатирование того, что если в мышлении есть какой-нибудь Х, то это возможно только тогда, когда здесь имеется также и не-Х, т.е. когда в мышлении имеется что-нибудь одно, то должно быть еще и иное, от которого это одно определенным образом отличалось бы, без чего в мышлении оно не может быть самим собою. Это есть попросту различие, различающая деятельность мышления. Но у Гильберта это выражено намеренно сухо и бессодержательно, так что у него не только нет никакой речи о переходе Х в не-Х, но, собственно говоря, нет речи и о связи Х с не-Х, хотя уже по самой тематике этого параграфа речь должна идти именно о логических связях.

Возьмем вторую формулу логической связи у Гильберта. Это есть, как он выражается, «и», или, как он тут же говорит, «Х и Y» обозначает такое высказывание, которое истинно в том и только в том случае, если как Х, так и Y  истинны. Это значит, что данная форма логической связи имеет смысл только при переходе от истинности к истинности. Другими словами, если в первой форме логической связи мы переходили от одного элемента мысли к какому-то иному вообще, о котором было известно только то, что он есть отрицание первого элемента, то теперь мы имеем такую логическую связь, при которой от одного элемента мы переходим к другому, но уже твердо определенному элементу, такому же «истинному» как и первый, исходный элемент. Тут мы переходим не просто за пределы первого элемента во что-то неопределенно иное, но в такое иное, которое является столь же определенным и устойчивым элементом, что и первый. Может ли без этого существовать логическое мышление? Можно ли остаться при одном различении какого-нибудь элемента от всех других вообще и не фиксировать никакого другого элемента во всей его определенности, с которым и устанавливается различие нашего первого элемента? Конечно, без этого нет никакого мышления как формы движения, ибо мышление как форма движения всегда есть переход от какой-нибудь одной строго-определенной точки к какой-нибудь другой строго-определенной точке. Эту простейшую интуицию всякого движения, а в том числе и движения мышления, Гильберт не мог не использовать при установлении своих первичных логических связей. Но ему опять-таки противно всякое живое движение и неприятны всякие переходы; и потому изображенный здесь у нас живой переход живого мышления от одной точки к другой он квалифицирует как безжизненное и абсолютно статичное «и», а четкость и твердую определенность исходного и конечного пункта движения (а эта четкая прерывность так же необходима в мышлении, как и его непрерывность) он понимает здесь как наличие «истинности», заменяя простую наглядность точки своим неопределенным и, как мы увидим дальше, фантастическим понятием «истинности».

Пойдем дальше. Мышление, рассматриваемое как форма движения, не есть просто переход от одного пункта к другому. То, что движется и меняется от одного положения или состояния к другому, должно в то же самое время в некотором отношении и не меняться, т.е. оставаться самим собою, ибо иначе то, что пришло из одной точки в другую, перестанет быть тем, чем оно было в первой точке, и то, что придет во вторую точку, окажется совершенно новым предметом, так что не будет смысла говорить и о самом движении, как о движении чего-то. Необходимо, чтобы изменившееся в результате движения в то же время и оставалось самим собой, т.е. чтобы, с одной стороны, переход к новому совершался в пределах старого же, а, с другой, чтобы в новом в той или в другой мере оставалось и старое. Нам кажется, что эта простейшая и нагляднейшая диалектика всякого живого движения и всякого живого перехода нашла свое выражение у Гильберта в его третьей и пятой формах логической связи с обычным для него и весьма искусным запрятыванием всякой наглядности и выдвижением на первый план статической и бессодержательной формы.

Именно, свою третью форму логической связи Гильберт формулирует как «или», которое он, впрочем, объясняет как тождество (латинское vel) и, прежде всего, как самотождество, тождество с самим собой. Тут, следовательно, Гильберт мыслит переход от одного элемента к другому, но этот переход оказывается тут переходом в пределах первого же элемента. Чтобы сказать о первом элементе, что он тождественен самому себе, сначала нужно его отличить от него самого, ибо иначе невозможно и отождествлять здесь что-нибудь с чем-нибудь. Для тех, кто мало знаком с диалектическим методом, такое самотождество всегда кажется чем-то схоластичным или, по крайней мере, излишним. Однако это – необходимейший и простейший момент всякого  диалектического понимания предмета. Ведь здесь речь идет, не больше, не меньше, как о взаимоотношении целого и совокупности всех частей. Совокупность всех частей предмета еще не есть сам предмет, ибо сам предмет есть единая цельность, не сводимая ни на какую ее часть, ни  на совокупность всех ее частей. И, тем не менее, фактически всякий предмет только и состоит из своих частей и не из чего другого, и его цельность вовсе не существует отдельно от его частей и не есть самостоятельная субстанция. Поэтому, когда говорится «Х или Y», то здесь Гильберт исходит, не больше и не меньше как из наглядного представления такого предмета мысли, который одновременно есть и он сам в своей неделимости и вполне тождественная с ним совокупность всех его частей. Но такую наглядность Гильберт стыдится показать в натуре;  и, как всегда, ему до смерти не хочется говорить о каком-то содержании, причем он тут заменяет устойчивые формы и содержания мысли неопределенным выражением «истинность». Отсюда такое определение у Гильберта этой логической связи: высказывание «Х или Y» истинно тогда и  только тогда, когда, по крайней мере, одно из этих двух высказываний Х, Y истинно. Это и понятно, потому что при тождестве Х с Y истинность одного высказывания влечет за собой истинность всего этого тождества Х с Y. При чем тут «истинность» и что такое тут «истинность», совершенно непонятно. Но вполне понятно, что если имеется в мышлении какой-нибудь твердо определенный предмет, то мышление, если его понимать как форму живого движения, наряду с прочим, состоит и в разнообразном разделении, и расчленении этого предмета, и в отождествлении его расчлененных частей с ним же самим. Без этого нет мышления, если только оно для нас не мертвая схема, но живое движение; и без использования такой стороны мышления  Гильберт, конечно, не мог обойтись, каким бы формализмом он ни страдал.

Аналогично с этим выдвигает Гильберт и свою пятую форму логических связей, именно, равнозначность. Ведь живое мышление, переходя от одной точки к другой, должно не просто переходить (это было бы не мышлением, отражающим бытие, но всего только самим же бытием); оно должно еще и сравнивать, и сопоставлять те точки, между которыми оно совершает переход. Но что значит сравнивать? Сравнивать два элемента это значит, прежде всего, первый рассматривать в свете второго и второй рассматривать в свете первого, т.е. в первом находить следы второго и во втором находить следы первого, т.е. первое (по крайней мере, частично) отождествлять со вторым и второе отождествлять с первым, т.е., устанавливая (по крайней мере, частично) тождество первого со вторым, находить это тождество сначала в первом, а потом и во втором. Тождество первого элемента мысли со вторым, но в области первого же, подсказало Гильберту указанную нами третью форму логической связи. Тождество же первого со вторым, но в области второго, это есть его пятая форма логической связи, называемая им «равнозначность». По Гильберту высказывание «Х равнозначно Y» обозначает такое высказывание, которое тогда и только тогда истинно, когда Х и Y оба истинны или оба ложны, так что Х и Y  «имеют здесь одно и то же значение истинности или ложности». Конечно, и здесь термин «истинность» остается таким же непонятным. Нам кажется (к этому мы еще вернемся), что под истинностью Гильберт вообще понимает определенность и очерченность мысли, или, может быть, упорядоченность мысли, беря из этой определенности и упорядоченности только самую форму или принцип упорядочивания.

Однако есть еще одна сторона живого мышления, которая не только имеет центральное значение в самом мышлении, но которая послужила источником и для логики Гильберта. Именно, о мышлении не только недостаточно говорить в терминах бытия (напр<имер>, указывать на его «переходы»), но недостаточно также говорить и о сравнивающей и сопоставляющей деятельности. Ведь мышление есть отражение бытия, но бытие находится в вечном движении и даже самодвижении. Следовательно, и мышление, если оно, действительно, есть отражение бытия, должно содержать в себе хотя бы некоторого рода самодвижение. Иначе отражением живого окажется нечто мертвое, а в таком случае нельзя будет говорить и о самом отражении. Что же такое самодвижение в мышлении, если его понимать как специфическое отражение самодвижения бытия? Это есть, прежде всего, умозаключение, ибо если имеется основание, то оно уже само по себе требует того или иного следствия, и это следствие, хотим мы этого или не хотим, само собой вытекает из своего основания. Мог ли Гильберт, пожелавший формулировать основные логические связи, миновать эту наиболее живую сторону мышления? Ведь тут мышление выступает перед нами не только как движение и переход, но и как развитие, поскольку в его предыдущих моментах уже содержатся в скрытом виде все последующие моменты. Это и заставило Гильберта формулировать его четвертую форму логических связей. Но здесь его ненависть ко всякой наглядности и виртуозность его формализма и схематизма достигают поистине фантастических размеров.

Свою четвертую форму логической связи Гильберт обозначает при помощи высказывания «если Х, то Y», которое, согласно Гильберту, «ложно в том и только в том случае, когда Х истинно, а Y ложно». Гильберт предупреждает, что это соотношение не следует понимать как отношение основания и следствия. По Гильберту выходит, что, напротив того, высказывание «если Х, то Y» истинно всегда уже в том случае, когда Х есть ложное или же Y есть истинное высказывание. Эта четвертая форма логической связи, по мысли Гильберта, имеет общее с соотношением основания и следствия только то, что в случае истинности высказывания «если Х, то Y», из истинности Х можно заключить к истинности Y.

Из определения этой четвертой формы логической связи вытекает, что Гильберт считает истинными следующие три типа высказывания:

если «дважды два четыре», то «снег – бел»;

если «дважды два пять», то «снег – бел»;

если «дважды два пять», то «снег – черен».

Ложным же является высказывание:

если «дважды два четыре», то «снег – черен».³⁰

Попробуем отдать себе отчет в этом замечательном учении.

4. Самое главное здесь то, что Гильберт вовсе и не прикасается к выводу как к логическому процессу. Такой вывод как «если дважды два четыре, то снег – бел» вовсе не есть ни вывод правильный, ни вывод вообще. Вывод здесь понимается чисто словесно, а не логически; и правильность самого процесса вывода Гильберт и Аккерман заменяют правильностью, напр<имер>, исходной или заключительной посылки вывода.  Это уже не есть формализация вывода, но замена его внешне словесным обозначением, которое само по себе бессмысленно. Вполне бессмысленны и другие примеры. Все эти примеры на «если..., то...» не суть ни истинные, ни ложные, а только бессмысленные.

Эти рассуждения Гильберта–Аккермана об условии и обусловленном являются замечательным примером нигилизма и внутреннего разложения буржуазной мысли. Скажем о них несколько подробнее.

Мы бываем еще недовольны той формальной истинностью, которая фигурирует в традиционной формальной логике. Но в сравнении с теорией «истинности» у Гильберта–Аккермана даже и эта традиционная формально-логическая истинность является чем-то богатым и глубоким. В силлогизме:

Все женщины имеют хвост

Мария Ивановна – женщина

Мария Ивановна имеет хвост

можно сколько угодно высмеивать бессодержательность и глупость мысли; но зато всякий самый заядлый реалист согласится, что здесь некоторое правильное движение мысли и безусловно правильное умозаключение, несмотря на бессодержательность и ложность исходной и заключительной посылки. Но у Гильберта–Аккермана нет даже и этой формальной и бессодержательной истинности, потому что логическое умозаключение заменено здесь ничего не значащими и ни к чему не обязывающими словами «если ..., то ...».

Да и на основании чего эти авторы могли бы считать истинным такой вывод как, напр<имер>, «если дважды два четыре, то снег – бел»? На основании истинности исходной или заключительной посылок? Но, во-первых, истинность отдельных посылок умозаключения не имеет ничего общего с истинностью самого умозаключения. А, во-вторых, на основании чего можно было бы говорить об истинности даже и этих отдельных посылок?

 Материалисты и реалисты скажут, что об истине они узнают из разного рода жизненных ощущений и восприятий или из практики, и что истинность есть соответствие объективной реальности. Кантианцы скажут, что истинность есть соответствие априорным формам субъекта. Но Гильберт не хочет быть ни материалистом, ни идеалистом, ибо ощущение для него ничего не значит, а в какие-нибудь априорные формы он тоже не верит. В конце концов, истинность для него все, что угодно, т.е. все, что кто-нибудь и когда-нибудь считал, считает или будет считать за истину. Однако напрасно он думает, что этим он формулирует какую-нибудь действительно формальную, логическую или математическую истинность.

При таком бессмысленном употреблении термина «истинность» совершенно нельзя сказать даже и того, что истинность противоположна ложности. Для такого субъекта как Гетевский Мефистофель, между тем и другим едва ли есть какая-нибудь противоположность. Да для этого не нужно быть и Мефистофелем, а достаточно быть просто жуликом или идиотом. Впрочем, не нужно быть даже жуликом. Ибо, если правильно, что большие дожди приносят урожай, то я не знаю, почему надо считать ложным, что большие дожди приносят неурожай. Ведь только стоит быть дождям больше известной меры или в несоответствующее время, как урожай превращается в неурожай.³¹ Почему же вдруг по Гильберту получается, что при истинности вывода «если дважды два четыре, но снег – бел» ложен вывод – «если дважды два четыре, то снег – черен»? Отказавшись от истинности и в материальном и в формальном смысле слова и сведя ее на бессмысленный словесный знак, Гильберт сам преградил себе дорогу к логическому использованию понятия истины, вследствие чего его заключения от истинности одного вывода к ложности другого, противоположного первому, или, вообще говоря, о том, что истина и ложность противоположны, являются смешным и некритическим остатком одной из самых скудных логических теорий, именно школьной формальной логики.

В одном отношении употребление терминов «истинность» и «ложность» у Гильберта–Аккермана может иметь некоторый реальный смысл. А именно, в истории науки, в конкретной практике бесконечных кропотливых сложнейших исследований часто оказывалось и оказывается, что исследователь исходит из правильной посылки, но приходит к ложному выводу, или что он исходит из ложной посылки и приходит к правильному выводу, или что он исходит из правильной посылки и приходит к правильному выводу, но приходит путем неправильного умозаключения и т.д., и т.д. Так, напр<имер>, даже некоторые математики, исходя из правильных теорем, приходили к новым теоремам, тоже правильным, но этот их вывод, т.е. самый ход доказательства правильной теоремы оказывался неправильным. При таком сложном взаимоотношении моментов истинности и ложности, можно действительно соблазниться многозначностью этих терминов и обобщить их до полной бессмыслицы. Однако все указанные нами умозаключения, постоянно бытующие в конкретной науке, есть, конечно, только временное недоразумение. Если правильная теорема доказана при помощи неправильных умозаключений, то это не значит, что мы должны признать теоретически истинным вывод типа «если дважды два четыре, то снег – бел». Рано или поздно неправильное доказательство правильной теоремы распознается именно как неправильное, и связь правильной теоремы с ее неправильным доказательством рано или поздно квалифицируется как недоразумение. Если такой квалификации пока еще нет, то это вовсе не значит, что логическое сознание исследователей движется здесь не в русле обычных и нормальных представлений об истинности и лжи, т.е. что, с их точки зрения, правильную теорему нужно доказывать неправильным методом, потому что для их сознания данная правильная теорема пока доказана именно путем правильных умозаключений. Если же такая квалификация установлена, то неправильное доказательство правильной теоремы тем самым признано негодным, т.е. опять-таки сознательная логика последовательно движется здесь в русле нормальных и общечеловеческих представлений об истинности и лжи. Но в науке никогда не бывает так, чтобы неправильное доказательство правильной теоремы сознательно и логически считалось чем-то научным, истинным или хотя бы допустимым. Это только – временное недоразумение, и – больше ничего. И возводить это недоразумение в ранг логического вывода, в ранг истинного умозаключения – это значит утерять всякое сознание истинности и ложности и свести его на ничего не значащие словесные знаки. Недаром Гильберт отказывается говорить здесь о выводах и предпочитает многозначный и неясный термин «высказывание».

5. Далее переходим к § 2, трактующему об эквивалентностях, т.е. о равнозначных высказываниях. Тут особенно наглядно выступает сырой и непроанализированный  для логики характер многих операций логистики. Так, сказать «Х и Y» все равно, что сказать «Y и Х». «Х и (Y и Z)» эквивалентно высказыванию «(Х и Y) и Z». «Х или Y» все равно, что «Y или Х». Высказывание «Х или (Y или Z)» эквивалентно высказыванию «(Х или Y) и (Х или Z)». Отсюда вытекают коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы высказываний и аналогия «и» с алгебраической суммой, а «или» с алгебраическим делением, а также ряд операций, аналогичных с алгебраическим вынесением за скобку.

Вся эта суета с коммутативным и пр<прочими> законами имела бы прямое отношение к логике³² только в том случае, если бы здесь мы нашли развитое рассуждение об идее порядка и группировки в применении к логике (не говоря уже о том, что категории «и» и «или» остаются невыясненными также и здесь). Принцип порядка, а, следовательно, и принцип структуры, это очень важный  принцип логики, который в логике, – не в пример математике, – пока еще очень плохо изучен. Не входя ни в какой анализ применения этого принципа в логике, мы можем сказать только то, что это применение здесь чрезвычайно сложно. Если Гильберт–Аккерман хотят при помощи указанных только что законов формулировать полную неприменимость к логике принципа порядка и структуры, то, пожалуй, это и не плохой прием. Однако, если это так, то почему же это вдруг логика не должна подчиняться никакому принципу порядка и структуры. Ведь это была бы логика очень далекая от  отдельных наук, ибо существуют такие науки, которые целиком построены на структурных законах, какова, напр<имер>, органическая химия или кристаллография. Логика, исключающая из логического мышления принцип структуры, очевидно, совсем не годится для таких наук.

Вероятно, Гильберт–Аккерман устраняют здесь принцип структуры и порядка на том основании, что они хотят строить максимально формальную логику. Однако совершенно неправильно, что формальная логика не предполагает никаких логических структур. Если мы определяем понятие как «сооружения, приспособленного для защиты человека от атмосферных явлений», то все указанные здесь признаки понятия («сооружение», «приспособление», «защита», «человек» и т.д.) вовсе не ссыпаны здесь в некой бесформенной куче, но находятся в строго определенном взаимном отношении и порядке, нашедшем себе, в данном случае, выражение в разного рода грамматических формах частей речи, падежей и предлогов. Конечно, традиционная формальная логика каким-то непостижимым образом увиливает от всякого принципа порядка и структуры; и, в конце концов, может быть, даже это и не худо, если для структурной логики отводить специальное место. Но совершенно ясно, что как само понятие порядка или структуры, так и форма его применения в логике – это сложнейшая проблема науки; и не понятно, как можно было бы от нее отмахнуться безапелляционным и немотивированным приведением арифметических законов (хотя сами эти законы совершенно безупречны и, после соответствующего анализа, вполне могли бы занять почетное место в специально указанных для них отделах или типах логики).

Все эти перестановки, размещения и пр<очее> можно, конечно, понять и арифметически. Но в таком случае это чисто бытийные акты, а не логические процессы. Перестановки, подстановки, размещения в разные группы  ровно ни о каких логических связях ничего не говорят, если все это не подвергается специальному анализу, а берется в сыром математическом виде. Это как раз прекрасные примеры на то, как вещи и их процессы отнюдь не есть понятия о вещах и отнюдь не есть логические процессы.³³

6. В этом же параграфе содержится и еще одно, не менее поразительное учение. Оказывается, основные типы логической связи, только установленные, вовсе не есть нечто обязательное. Так, «равнозначность», оказывается, можно заменить связями «если... то ...» и «и», т.е. можно сказать: «Х равнозначно Y» эквивалентно «если Х, то Y» и «если Y, то Х», т.е. если из Х «вытекает» Y, а из  Y «вытекает» Х, и если эти два вывода мы возьмем вместе, то это будет значить, что Х равнозначно Y. Значит, «равнозначность» здесь выражена «выводом» плюс «соединение». Точно так же, рассуждают эти авторы, «равнозначность» и «или» могут быть заменены через «и» и «контрадикторность». Так, высказывание «Х и Y» эквивалентно отрицанию соединения отрицания Х и Y. Другими словами, Гильберт здесь хочет сказать, если есть Х, то нет Y; а если есть Y, то нет Х; но и Х есть и Y есть; значит, остается только – или Х или Y. Несомненно, здесь мы сталкиваемся с вопросом взаимоотношения и взаимосвязи выставленных в начале пяти категорий. Но этот вопрос тоже не ставится здесь в систематической форме, а затрагивается случайно, в то время как ясный и отчетливый анализ был бы необходим именно в самом начале, без чего все это построение оказывается догматическим и висящим в воздухе.

Этим же характером отличается и следующий § 4, который при другом методе изложения, возможно, имел бы значение действительно логического анализа. Это – приведение логических выражений к «нормальной форме», состоящей «из суммы произведений, в которых каждый множитель является или основным высказыванием или отрицанием какого-нибудь такого» (т.е. состоящей только из «и», «или» и «отрицания»). Для логики это – сырой материал, так как здесь отсутствует анализ самих этих категорий «и», «или», «отрицания» и др. и почему будет «нормальнее», если мы исключим «следствие» и «равнозначность», – неизвестно. На основании того наглядного понимания мышления как формы движения, о котором мы говорили выше и которое, по нашему мнению, Гильберт использовал в своей логике, можно было бы, конечно, немало сказать по поводу этой «нормальной формы» высказывания, и о том, почему Гильберт понимает ее именно так, а не иначе (точно так же как и относительно указанных только что эквивалентностях). Но мы очень далеки от мысли давать в этой статье свое собственное построение математической логики.

7. В § 4 ставится мало понятная логическая задача «найти такие соединения высказываний, которые всегда истинны, т.е. независимо от того, дают ли основные высказывания истинные или ложные утверждения». Эта мало понятная задача решается так. Оказывается, существуют следующие «правила» такой «истинности»: 1) «Х или не-Х» всегда истинно; 2) если Х истинно и Y обозначает любое высказывание, то также истинно и «Х или Y»; 3) если Х истинно и  Y истинно, то в таком случае истинно и «Х и Y». Истинными (после приведения к «нормальной форме») оказываются все выражения, характеризующиеся тем, что «в каждом произведении появляется в качестве множителя по крайней мере одно из основных высказываний одновременно с его отрицанием». Очень трудно понять, в чем тут дело и какое это имеет значение для логики. Насколько можно догадаться, правила эти, особенно первое, как будто смахивают на принцип исключенного третьего. Однако это только догадка, быть может, совершенно несовместимая с мыслью Гильберта. Быть может, здесь указывается на то, что между утверждаемым и отрицаемым всегда есть нечто общее. Ведь «или» (т.е. «умножение») означает в логистике совпадение или наличие общих части. Всегдашняя истинность высказывания «Х или не-Х» в таком случае означала бы, что между Х и не-Х всегда есть нечто общее, т.е. само же это Х, без его утверждения и без его отрицания. Но таков ли смысл этого учения, поручиться нельзя за отсутствием всяких разъяснений.

Наиболее вероятной расшифровкой этого нам представилось бы следующее. «Х или не-Х» есть отождествление утверждения и отрицания. Где мы находим это тождество утверждения и отрицания? Его мы находим в первую голову в понятии границы. Если мы имеем, напр., круг, то окружность круга, с одной стороны, относится к самому кругу, ибо никакого круга без окружности не существует; но, с другой стороны, эта же самая окружность относится к тому фону, на котором существует данный круг, ибо никакой фон, на котором окружность не выделяет круга, вовсе не содержит  этого круга. Ясно, что на границе круга, т.е. на окружности, совершенно совпадает и отождествляется то, что есть круг и то, что не есть круг. Следовательно, отождествление утверждения и отрицания, т.е. высказывание «Х или не-Х» обозначает не что иное, как проведение некоторой четкой границы для Х, как ясное и твердое его оформление на мысленном фоне вообще. В таком случае первый тезис Гильберта в анализируемом параграфе указывал бы на истинность как на твердую определенность, оформленность и четкую отграниченность мысленного предмета, что как будто бы совпадает и с другими нашими наблюдениями о понимании истинности у Гильберта и что указывало бы на вполне наглядный и живой корень логической мысли, используемый здесь Гильбертом, но, как всегда, не формулируемый им в отчетливой форме. Такое понимание этого тезиса Гильберта нам представляется наиболее вероятным, гораздо более вероятным, чем предложенные только что два других понимания; но, конечно, доказать истинность нашего наблюдения никак невозможно ввиду отсутствия каких бы то ни было разъяснений у Гильберта; и оно остается не больше как догадкой и произвольным домыслом.

8. В § 5 формулируется т.н. «принцип двойственности», состоящий в том, что от формул сложения можно перейти к формулам умножения, т.е. от «и» к «или» и обратно, так что, напр<имер>, высказывание «Х или (Y и Z)» равнозначно с высказыванием «Х или Y и Х или Z» (одна из формул дистрибутивного закона). Это интереснее дано в одной из формул § 3, где шла речь о получении «нормальной формы»: отрицание высказывания «Х и Y» все равно, что высказывание «Х или Y», а отрицание высказывания «Х или Y» все равно, что высказывание «Х и Z».

Чтобы понять такое учение Гильберта, мы можем только привлечь те наглядные свойства мышления как формы движения, о которых мы говорили выше. Именно, если логическая связь «и» указывает, как мы там утверждали, на переход от одного определенного элемента к другому, то само собою становится ясным, что отрицание такого перехода от одного к другому есть утверждение перехода от одного к нему же самому, т.е. отождествление одного элемента с самим же собою или отождествление другого элемента тоже с  первым. А это и есть логическая связь «Х или Y».  Точно так же отрицание этого тождества одного элемента с ним же самим или другого элемента с первым есть разъединение обоих элементов, разрыв их тождества и переход от одного элемента к другому элементу, который уже ни в чем не тождествен с первым. А это и есть логическая связь «Х и Y». Такой простейший смысл можно было бы вложить в это учение о взаимном отрицании «и» и «или».

Однако сказать так – это значит насильственно раскрыть секрет логистики в данном случае, ибо и Гильберт, и прочие логистики весьма старательно запрятывают эту материально-содержательную наглядность, давшую им право на «принцип двойственности». Выразивши эту наглядность формулой какого-нибудь дистрибутивного закона, логистики скрыли от нас самое главное  и свели жизненную наглядность на пустое арифметическое упражнение, т.е. тем самым поставили нас перед каким-то максимально формализованным, но в то же время совершенно сырым для логики материалом. Наглядность и везде, и в данном случае дает нечто бесконечно более богатое, чем эта «алгебра логики»; и усвоивши однажды, что речь идет тут о замене перехода от одного элемента к другому отождествлением этих элементов, мы сразу натыкаемся на огромную философскую и логическую проблему, чрезвычайно важную и теоретически, и жизненно.  И решение этой проблемы при помощи дистрибутивных законов есть только одно из многих возможных решений; оно не единственное даже и математически, не только логически. Безапелляционное решение ее в смысле арифметической дистрибутивности есть смешная догматическая метафизика. Против этого нельзя возражать так, что арифметика-де тоже имеет право на существование. Ведь разбираемые авторы пишут сводный труд под названием «Основные черты теоретической логики».³⁴ Самое это название каждым из четырех слов, в него входящих, кричит о цельном изображении логического мышления. И против арифметики нечего возразить, если она берется в контексте всей логики вообще. Но она есть недопустимое зло, если она себя абсолютизирует и делает невозможными все другие логические методы.

9. В § 6 рассматривается «дизъюнктивная нормальная форма логических выражений» в противоположность первой нормальной форме, рассмотренной в § 3 и теперь получающей название конъюнктивной. Разница между обеими формами заключается в том, что  конъюнктивная нормальная форма состоит из суммы произведений, образуемой отрицанием или неотрицанием основного высказывания, а дизъюнктивная форма состоит из произведения сумм, образующихся слагаемыми в виде отрицаемого или неотрицаемого основного высказывания. Так, напр<имер>, высказывание «Х равнозначно Y» можно выразить в такой дизъюнктивной нормальной форме: «Х и Y» или «не-Х и не-Y»; и это значит, что Х и Y должны или выступать оба вместе, или оба вместе не выступать, если только равносильно высказывание, что Х равносильно Y. В первой нормальной форме мы преобразовывали высказывание так, чтобы получить из него соединение ряда совпадающих высказываний, здесь же – совпадение ряда соединений. Таким образом, это только новая комбинация при помощи все тех же самых «и» и «или». По-видимому, пристрастие к этим процессам разделения и совпадения, или соединения и разъединения вытекает из арифметизма самой этой логической системы. Логистики хотят свести все логические процессы на разъединение и совпадение элементов. Если это так, то попытку эту заранее надо считать совершенно недостаточной для логистики. Соединение и разъединение, взятые как таковые, суть процессы не специально мышления, но бытия. И поскольку логика есть наука не прямо о бытии, но об отражении бытия в мышлении, постольку соединение и разделение ничего еще не говорят сами по себе о логических процессах. Получается любопытный курьез: логистика как раз не хотела говорить о бытии, но хотела остаться только в пределах операций с «высказываниями», «классами» и «функциями»; но тем самым, что она отказалась от анализа понятий, суждений и умозаключений как таковых и свела все к арифметике и алгебре, она этим самым именно онтологизировала сама себя, так как число гораздо ближе именно к бытию, чем к понятию, и соединение, и разделение, к которым логистики хотят свести мышление, есть именно бытийные, а не специально мыслительные процессы. Впрочем, даже если согласиться понимать соединение и разъединение как принципы логические, а не просто бытийные, то, все равно этими принципами невозможно исчерпать картину мышления как формы живого движения. Эти принципы давали бы все же весьма механистическую картину; и то, напр<имер>, что мышление есть развитие, совершенно не затрагивалось бы такими принципами.

 10. В этой работе нет возможности проследить шаг за шагом все построение Гильберта–Аккермана. Это было бы равносильно написанию новых «Основных черт теоретической логики» и при том гораздо больше по объему. Однако уже и приведенного материала более чем достаточно для иллюстрации данной нами выше характеристики математической логики, и особенно для ее догматизма, дающего возможность выставлять ответственнейшие тезисы без всякого доказательства, а также и для понимания отсутствия в ней логического анализа вводимых ею категорий и замены этого логического анализа арифметическими связями, выделяющими только одну сторону мышления и при том далеко не самую существенную.

Можно ли, напр<имер>, более догматично изложить «аксиомы исчисления высказываний», чем они изложены в § 10 анализируемой книги? Без всяких доказательств, без всяких пояснений, даже без вразумительной – не логической, а хотя бы только словесной – формулировки введены здесь следующие четыре аксиомы, которые мы передадим простыми словами (а не специально вводимыми знаками).

1) Высказывание Х истинно тогда, когда истинно высказывание «Х или Х». Поскольку мы уже знаем, что высказывание «Х или Y» истинно тогда, когда истинно, по крайней мере, одно из этих двух высказываний, и поскольку сейчас мы говорим не об «Х или Y», но об «Х или Х», то совершенно ясно, что высказывание Х оказывается истинным в случае истинности высказывания «Х или Х». Но простое словесное переиначивание давно установленного тезиса, может быть, и имеет большое математическое значение, но логика нуждается в осмысленном раскрытии самого этого тезиса.

Отсюда возникает вопрос, почему же нужно считать истинным Х, если истинно  «Х или Х»? Высказывание  «Х или Х», как мы знаем, есть просто отождествление Х-а с самим собой. Но тождество Х с самим собою есть не что иное, как его определенность и оформленность, потому что Х, о котором еще неизвестно, что он есть именно Х, предстает перед нами в виде чего-то неузнанного, неопределенного и бесформенного; и когда мы в этом Х узнали именно его самого, мы его четко отделили от всего прочего и дали ему определенное место в своем мышлении. В таком случае под «истинностью» Х у Гильберта пришлось бы понимать просто определенность этого Х в мышлении, т.е. соответствие этого высказывания Х не какому-нибудь объективному бытию, но ему же самому, как оно есть  в мысли. По крайней мере, на стр. 41 Гильберт противопоставляет свою логику Аристотелевской в том смысле, что последняя видит истинность в соответствии с реальным предметом. В чем истинность по его собственному учению, он тут не говорит, а указывает только отрицательно, что математическая истинность иная. Так не заключается ли она в том, что понятие здесь соответствует не бытию, но самому себе, и не об этом ли говорит первая Гильбертовская аксиома? Может быть, да; может быть, нет. Если – да, то логика Гильберта в своем формализме настолько же далеко идет вперед в сравнении с кантианством, насколько кантианство формалистичнее всякого реализма и материализма. Тут даже априорные формы человеческого субъекта оказываются слишком бытийственными и материальными; и под «истинностью» тут понимается нечто настолько широкое, что истинной является решительно всякая мысль, лишь бы она была определенной и соответствовала сама себе. Это даже не формализм, а просто фикционализм.

Остальные три «аксиомы исчисления высказываний» мы обсуждать не будем, поскольку возможные здесь наши догадки ясно вытекают из только что сказанного, и ограничимся только их приведением.

2) Если Х истинно, а Y – какое-нибудь другое высказывание, то истинно также и высказывание «Х или Y».

3) Произведение истинных высказываний (т.е. соединение их через «или») коммутативно.

4) Высказывание «если Х, то Y» останется тоже истинным, если мы и Х и Y «помножим» на какое-нибудь Z (т.е. присоединим его при помощи «или»).

Почему взяты эти аксиомы, а не другие? Почему их четыре, а не пять и не шесть? Как они между собою связаны? Какую логическую категорию выражает каждая из этих аксиом? Что значит это «или» в смысле логической связи? Напрасно искать ответа на эти вопросы в труде Гильберта–Аккермана. Как-де хотите, так и думайте. Разве можно себе представить больший и худший догматизм и большее пренебрежение логикой как специальной наукой о мышлении?

В довершение всего в том же параграфе еще мы находим учение о том, как делать выводы из этих аксиом. Оказывается, правил этих всего два – правило подстановки и схема заключения. Первое правило гласит, что любое высказывание мы можем заменить без ущерба для дела, при условии только, что эта подстановка будет произведена везде, где только выступает данное высказывание. Но уже было сказано, что подстановка – процесс бытийный или внешне-словесный, но никак не логический. Святою простотой веет и от «схемы заключения», гласящей, что из двух формул «А» и «если А, то В» мы получаем новую формулу «В». Перед этой мудростью можно только развести руками. Мы-то, несчастные, бьемся в логике над тем, что такое это «получаем», и каковы функции, основания и типы этого «получения». Тут же все решено сразу, на двух или трех строках!

Не собираясь посвящать наши заметки специально Гильберту, мы можем на этом и остановиться. Но мы на материалах Гильберта–Аккермана, кажется, тоже доказали, что логистика не есть логика, а только очень сырой материал для логики. Возможно, что тут залегает даже очень большая мудрость и глубина, как ее много и в самой математике. Однако, вскрыть эту мудрость и глубину – это значит произвести огромную логическую работу. У Гильберта она отсутствует.

Все же, в заключение, на одно несомненно сильное место логистики мы укажем, имея, впрочем, в виду не столько математическую логику, сколько логическую математику.