20. Механическая система. Центр масс. Теорема о движении центра масс.

 Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных (например, солнечная система, в кот. все тела связаны силой притяж.; любая машина, где все тела связаны шарнирами. стержнями и т.д.).

Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механическую систему не образует.

Силы, действующие на МТ или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы – обозначаются .

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы; обозначаются .

И внешние, и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.

Реакции связей (просто – реакции) – это силы, которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.). В статике это были силы, заменяющие связи. В динамике для них вводится более общее определение.

Активными (задаваемыми) силами называются все остальные силы, все кроме реакций.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равняется нулю:

Рис.1

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю:

Первое свойство основано на пятой аксиоме статики: каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по величине и противоположно направленная.

Второе свойство внешне похоже на условия равновесия, хотя таковым не является, так как внутренние силы прилагаются к разным точкам системы и могут вызвать относительные перемещения.

Уравновешенными внутренние силы будут лишь тогда, когда рассматриваемая система представляет собою абсолютно твердое тело. Абсолютно твердое тело – система материальных точек, образующих это тело и связанных между собой так, что расстояния между ними все время остаются постоянными.

Движение системы зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

Каждая точка системы с массой   может быть охарактеризована своим радиус-вектором  .

Центром масс системы называется точка С, радиус-вектор которой   определяется по формуле:

, где 

О распределении масс можно судить по положению центра тяжести. Подставляя в формулы координат центра тяжести ; Р = Мg, получаем

Положение центра масс системы (или центра инерции) в каждый момент времени зависит только от положения и массы каждой точки системы.

Центр масс системы совпадает с их центром тяжести. Понятие центр тяжести применимо к твердым телам, а понятие центр масс - к любым системам точек или тел.

Теорема о движении центра масс системы

Пусть система будет неизменяемой. В этом случае ее называют абсолютно твердым телом (телом).

Для каждой точки уравнения по основному закону динамики:

Уравнение движения твердого тела получим, сложив уравнения (16.1.1)

Рассмотрим левую часть уравнения. Следуя уравнению ( ) можем записать:

Дважды продифференцировав по времени, найдем:

или

Левая часть найдена. В правой останется только сумма внешних сил, так как согласно ( ) сумма внутренних сил равна нулю. Итак

Это аналитическое представление теоремы о движении центра масс системы.

Произведение суммарной массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя уравнение (16.2.5) на оси координат, получим

то есть дифференциальные уравнения движения в проекциях.

Значение теоремы о движении центра масс:

1. Решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

2. Все внутренние силы можно исключить из рассмотрения.

Теорема о движении центра масс имеет следствия:

1. Если сумма действующих на систему внешних сил равна нулю

, то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, то есть, при М = const:

2. Пусть  , тогда

Если сумма проекций внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти следствия выражают закон сохранения движения центра масс системы.