Образцы решения заданий

Задание 1. Сколько существует способов распределить три премии между десятью сотрудниками отдела: а) одинакового размера; б) разных размеров; в) одинакового размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза; г) разного размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза?

Решение. Каждому работнику отдела поставим в соответствие некоторый номер – 1, 2, …, 10. Тогда любая тройка номеров из этого списка соответствует одному варианту распределения премий. Условимся также премии располагать слева направо в порядке убывания, когда они различаются по размеру.

а) если премии одинакового размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1) неразличимы (они соответствуют факту награждения первых трёх сотрудников по списку). Поэтому здесь важен только состав, порядок расположения элементов в наборе роли не играет. Значит, способов распределить три премии одинакового размера столько же, сколько сочетаний «из 10 по 3», .

б) если премии разного размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2) разные (для 2-го и 3-го сотрудников). Поэтому здесь важен не только состав, но и порядок расположения элементов в наборе. Значит, способов распределить три премии разного размера столько же, сколько размещений « из 10 по 3», .

в) если премии одинакового размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) неразличимы. В обоих случаях 2 премии получил работник с № 1 и 1 премию – работник № 3. Значит, способов распределить три премии одинакового размера в этом случае столько же, сколько существует сочетаний с повторениями « из 10 по 3», .

г) если премии разного размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) различные. В первом варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 2-ю по величине, во 2-м варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 3-ю по величине. Значит, наборы представляют собой размещения с повторениями. Поэтому способов распределить три премии разного размера в столько же, сколько существует размещений с повторениями «из 10 по 3», .

Задание 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр {1,2,3,4,5,6}

а) без повторений; б) с повторениями?

Решение. а) Так как числа 123 и 321 разные, то порядок расположения внутри набора существенен. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений « из 6 по 3»,

.

б) Если цифры повторяются, то важен и состав, и порядок в наборе. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений с повторениями « из 6 по 3», то есть .

Задание 3. В отделении банка работают 25 человек, 10 из них мужчины. Для перевода в другое отделение банка необходимо отобрать 5 сотрудников. Какова вероятность того, что среди отобранных сотрудников три женщины?

Решение. Пусть событие A означает, что из 5 отобранных для перевода в другое отделение сотрудников три женщины. Тогда

.

Общее число n способов выбора 5 сотрудников из 25 равно числу сочетаний из 25 по 5, т.е. . Определим число m , благоприятствующих событию А исходов — «среди отобранных 5 сотрудников будут 3 женщины». Число способов выбрать 3 женщины из 15 равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х мужчин из 10. Следовательно, . Тогда

 =   =   =   =   =     0,38.

_Ответ:

Задание 5. В течение года три фирмы независимо друг от друга могут обанкротиться (прекратить функционирование) с вероятностями = 0,08 соответственно. Вычислить вероятность того, что в течение года будут функционировать:

а) только две фирмы;

б) хотя бы одна фирма;

в) не более одной фирмы.

Решение

Пусть , i=1, 2, 3 – события, означающие банкротство каждой из трёх фирм. Тогда P( ) = 0,06, P( ) = 0,09, P( ) = 0,08; P( ) =0,94, P( ) = = 0,91, P( ) = 0,92. Здесь _{, ,} – противоположные относительно _{, ,} случайные события.

а) Рассмотрим событие В= + + . Оно заключается в том, что в течение года не обанкротятся только две фирмы.

Так как , , несовместны и (i=1, 2, 3) независимы, то на основании теорем сложения и умножения вероятностей получим :

Р(В)= Р( ) Р( ) Р( ) + Р( ) Р( ) Р( ) + Р( ) Р( ) Р( )= =0,94∙0,91∙0,08+0,94∙0,09∙0,92+0,06∙0,91∙0,92=0,196496≈0,1965.

б) Обозначим через С событие, состоящее в том, что все три фирмы в течение года обанкротятся. Тогда

Р(С)=Р( )= Р( ) Р( )Р( )=0,06∙0,09∙0,08=0,000432.

Вероятность того, что хотя бы одна фирма не обанкротится, равна

1– Р(С)=1–0,000432=0,999568≈0,9996.

в) Пусть теперь D – случайное событие, состоящее в том, что в течение года будет функционировать не более одной фирмы. Оно означает, что либо все три фирмы обанкротятся, либо будет функционировать только одна фирма. Тогда D= + + и

Р(D) = Р(С)+ Р( Р( Р( ) + Р( ) Р( )Р( ) + Р( )Р( Р( ) = =0,000432+0,94∙0,09∙0,08+0,06∙0,91∙0,08+0,06∙0,09∙0,92=0,016536≈0,0165.

Ответ: а) 0,1965; б) 0,9996; в)0,0165.

Задание 6. В магазине имеются холодильники, произведенные двумя заводами в количественном соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока холодильника, произведенного первым заводом, равна 0,005, а вторым – 0,009. Купленный в магазине холодильник выдержал гарантийный срок. Вычислить вероятность того, что этот холодильник произведен вторым заводом.

Решение

Пусть А–событие, состоящее в том, что холодильник выдержит гарантийный срок, и – гипотезы, состоящие в том, что он произведен первым или вторым заводом соответственно. Тогда

; .

Из условия задачи следует, что: .

Вероятность того, что холодильник, выдержавший гарантийный срок, произведен вторым заводом, т.е. вычислим по формуле Бейеса: Ответ: 0,82.

Задание 7. При проведении социологического опроса студентов каждый из них, независимо друг от друга, может дать неискренний ответ с вероятностью 0,12. Вычислить вероятность того, что из 300 ответов неискренних будет:

а) ровно 30;

б) не более 70;

в) не менее 30 и не более 70.

Решение

а) Так как число опрошенных студентов достаточно велико , а вероятность сравнительно мала, то воспользуемся локальной теоремой Муавра–Лапласа:

, где .

В нашем случае , ,

Функция четная, поэтому (– 1,07)= (1,07). По таблице [1,Приложение 1] найдем (1,07) = 0,2251. Искомая вероятность .

б) Требование, чтобы неискренних ответов было не более 70, означает, что их число может быть равно 0, 1,2,…,70. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , и воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, по которой , где – функция Лапласа, ; .

Вычислим и :

; .

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , используя таблицу значений [1,Приложение 2], получим

.

Для значений полагают .

в) В этом пункте нужно вычислить , т.е. вероятность того, что из ответов трехсот опрошенных студентов неискренних будет не менее 30 и не более 70. Вычислим и :

; .

Следовательно,

Ответ: а) 0,0401; б) 1; в) 0,8577.

Задание 8. Два товароведа проверяют партию изделий на качество. Производительности их труда относятся как 5 : 4. Вероятность выявления брака первым товароведом составляет 85 %, вторым – 90 %. Из проверенных изделий отбирают три. Составить закон распределения случайного числа – годных изделий среди отобранных. Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение σ (Х).

Решение

Из условия задачи следует, что – дискретная случайная величина, возможными значениями которой являются числа , , , .

Так как имеют место оба условия схемы Бернулли , вероятности их появления будем вычислять по формуле Бернулли .

Пусть А– случайное событие, состоящее в том, что каждое изделие из трех отобранных для проверки окажется годным; – гипотезы, заключающиеся в том, что оно проверено первым или вторым товароведом соответственно. Тогда по формуле полной вероятности

.

По условию , , , .

Значит, .

Итак, для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли

Тогда

; ;

; .

Контроль: 0,002197+0,044109+0,295191+0,658503 = 1.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

X	0	1	2	3
P	0,002197	0,044109	0,295191	0,658503

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

По определению .

Значит, .

По формуле вычислим дисперсию.

.

Среднее квадратическое отклонение

Замечание. Рассмотренная в задаче случайная величина Х – дискретная и распределена по биномиальному закону. Поэтому математическое ожидание и дисперсию можно вычислить так:

; .

Задание 9. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса не допущена ошибка, равна 0,9. Аудитору на заключение представлено 4 баланса предприятия. Составьте закон распределения случайной величины Х  – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Найдите:

1. числовые характеристики этого распределения: М(Х), D(X);

2. функцию распределения F(X) и постройте ее график;

3. вероятность того, что:

1. ни один бухгалтерский баланс не получит положительного заключения;

2. хотя бы один бухгалтерский баланс получит положительное заключение;

3. не более двух бухгалтерских балансов получат положительное заключение.

Решение. Составим закон распределения случайной величины Х  – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Из четырех проверяемых балансов положительное заключение может получить ни один баланс, один, два, три и все четыре баланса, т.е.

.

Вероятности вычислим по формуле Бернулли , при этом .

;

;

;

;

.

Проверим выполнение соотношения .

.

Тогда ряд распределения случайной величины Х  – числа положительных заключений на проверяемые балансы примет вид

Таблица 1

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

1. Найдём математическое ожидание .

Найдём дисперсию .

.

Замечание. Так как случайная величина Х имеет биномиальное распределение, то числовые характеристики можно вычислять по формулам:

.

2. Найдём функцию распределения .

или

Построим график функции .

_{Рисунок 1 – График функции}

3. Искомые вероятности найдем, используя закон распределения СВХ:

а) р(Х = 0) = 0,0001;

б) р(Х  ≥ 1) = р(Х = 1) + р(Х  = 2) + р(Х = 3)  + р(Х = 4) = 

= 0,0036 + 0,0486 + 0,2916 + 0,6561 = 0,9999,

Или

р(Х ≥ 1) = 1 – р(Х = 0) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

в) р(Х £ 2) = р(Х = 0) + р(Х = 1) + р(Х = 2) = 

= 0,0001 + 0,0036 + 0,0486 = 0,0523.

Ответ: 1) ; ; 3) а) 0,0001; б) 0,9999; в) 0,0523.

Задание 10. Дана функция распределения СВ Х:

F(x) = 

Найти:

1) коэффициент а;

2) математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X);

3) Р .

Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение. Найдем вид функции плотности распределения вероятностей заданной случайной величины.

f(x) = F′(x) = 

1) Для нахождения значения параметра а используем свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей:  = 1.

 =   +   +   =   = 4а = 1,

откуда, а =  .

Таким образом,

F(x) =  f(x) = 

2) Математическое ожидание М(Х) найдем по формуле (8):

М(Х) =   =   =  .

Дисперсию D(X) найдем по формуле (9):

D(X) =   –   =   –   = 2 –   =  .

3) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал воспользуемся формулой

P(α ≤ X ≤ β) = F(β) – F(α).

Получим

Р  = F  – F  =   –   =   = 

Построим графики функций F(x) и f(x) (рисунки 1а, 1б)

а) б)

Рисунок 1 – Графики функций F(x) и f(x)

Ответ: 1) а =  ; 2) М(Х) =  ; D(X) =  ; 3) Р  =  .