Задания для самостоятельного выполнения.

Здесь везде – номер студента по списку.

1. Пусть выборка задана таблицей. Найти её числовые характеристики.

   	-1	0	1	2
   	3	5	1	1

2. Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности с надёжностью при известной генеральной дисперсии , выборочном среднем , найденным по выборке объёма .

3. Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности при неизвестной генеральной дисперсии с надёжностью , выборочном среднем и выборочной дисперсии , найденных по выборке объёма .

4. Для проверки эффективности новой технологии отбираются две группы рабочих. В первой группе (где она применяется) численностью человек средняя выработка шт., шт. Эти же показатели для другой группы (без применения новой технологии) численностью человека : шт., шт. На уровне значимости определить, действительно ли новая технология влияет на производительность.

5. При уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по эмпирическим и теоретическим частотам:

	6	12	16	40	13
	4	6	15	25	10

Образцы решения заданий

Задание1.Пусть выборка задана таблицей. Найти её числовые характеристки.

	-1	0	1	2
	3	5	1	1

Решение. Выборочная средняя , выборочная дисперсия , исправленная выборочная дисперсия , выборочное среднеквадратическое отклонение , исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение , выборочная мода , выборочная медиана .

Задание 2.Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности с надёжностью при известной генеральной дисперсии , выборочном среднем , найденным по выборке объёма .

Решение. Искомый доверительный интервал имеет вид: . Квантиль стандартного нормального распределения может быть найден, например, по таблицам значений функции Лапласа как решение уравнения . Здесь . Подставляя в формулу данные задачи, получим: .

Задание 3.Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности при неизвестной генеральной дисперсии с надёжностью , выборочном среднем и выборочной дисперсии , найденных по выборке объёма .

Решение. Искомый доверительный интервал имеет вид: . Квантиль распределения Стьюдента, соответствующий надёжности для числа степеней свободы возьмём из соответствующей таблицы: . Исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение . Подставляя, получим: .

Задание 4.Для проверки эффективности новой технологии отбираются две группы рабочих. В первой группе (где она применяется) численностью человек средняя выработка шт., шт. Эти же показатели для другой группы (без применения новой технологии) численностью человека : шт., шт. На уровне значимости определить, действительно ли новая технология влияет на производительность.

Решение. Для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей (новая технология не влияет на производительность) вычислим статистику: и сравним её с - квантилью стандартного нормального распределения. Квантиль стандартного нормального распределения может быть найден, например, по таблицам значений функции Лапласа как решение уравнения . Подставляя, получим: . При этом . Так как , то выдвинутую гипотезу об отсутствии влияния отклоняем.

Задание 5.При уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по эмпирическим и теоретическим частотам:

	6	12	16	40	13	8	5
	4	11	15	43	15	6	6

Решение. Необходимые вычисления проведём в таблице.

Таблица 2

№	1	2	3	4	5	6	7
	6	12	16	40	13	8	5
	4	11	15	43	15	6	6
	2	1	1	-3	-2	2	-1
	4	1	1	9	4	4	1
	1	0,09	0,07	0,21	0,27	0,67	0,17	2,47

Видно, что наблюдаемое значение критерия 2,47. Заданному уровню значимости и числу степеней свободы соответствует 9,49. Так как , то нет оснований отклонить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности на данном уровне значимости .

Задание 6. По данным корреляционной таблицы построить выборочные уравнения регрессии.

Таблица 3

Себестоимость, у.е.	Производительность труда,
	11	13	15	17	19
7			1	1	2		4
9			3	4	1		8
11		3	7	4			14
13	2	4	5				11
15	2	1					3
	4	8	16	9	3		40

Решение. Уравнение регрессии “ на ” : , “ на ” : .

Для удобства выпишем распределения составляющих:

	11	13	15	17	19
	4	8	16	9	3

	7	9	11	13	15
	4	8	14	11	3

По этим таблицам рассчитаем 14,95, 228, 4,50, 2,12, 11,05, 126,8, 4,70, 2,17, 6472,

161,8, -3,40, -0,74, -0,76; -0,72.

Тогда уравнение регрессии “ на ” : , “ на ”: .

Задание 7. При обследовании 60 семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи:

Таблица 4

5	9	2	4	6	3	7	9	1	3
2	5	6	8	2	5	2	3	6	8
3	4	4	5	6	5	4	7	5	1
6	4	8	7	4	5	7	8	6	5
9	5	6	9	9	3	4	6	5	4
7	6	8	9	5	4	3	5	7	8

Требуется:

1. составить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;

2. построить гистограмму и полигон относительных частот;

3. найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;

4. вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочное среднее квадратичное отклонение ).

Решение.1)Изучение непрерывных случайных величин начинают с разбивки интервала изменения случайной величины на частичных интервалов равной длины и подсчета частоты попадания значений случайной величины в каждый интервал. Обычно таких интервалов берётся (Эта формула рекомендуется при проверке гипотезы о виде закона распределения изучаемой случайной величины. Вообще говоря, строгих правил для выбора числа интервалов группирования не существует. Практический же опыт первичного анализа статистических данных показывает, что удовлетворительным является число интервалов от 5 до 15).

В нашем случае _{, ,}

 = 

Длину интервала удобно брать так, чтобы последняя цифра была четной. Тогда и середина интервала будет иметь последнюю цифру того же десятичного разряда, что и концы интервала. Начало первого интервала принимаем равным Тогда первый интервал будет [1 – 2,2], второй –  и т.д.

Шкалу интервалов и группировку статистических данных представим в виде таблицы 5.

Таблица 5

интервалы	[1; 2,2]	(2,2; 3,4]	(3,4;4,6]	(4,6;5,8]	(5,8;7]	(7;8,2]	(8,2;9,4]
Частота	6	6	9	12	15	6	6
Относительная частота	0,1	0,1	0,15	0,2	0,25	0,1	0,1
Накоплен-ная относ. частота	0,1	0,2	0,35	0,55	0,8	0,9	1

2)Таким образом, мы составили интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных.

Строим гистограмму и полигон относительных частот. На оси откладываем частичные интервалы длины , а на каждом интервале, как на основании, строим прямоугольник с высотой, пропорциональной относительной частоте интервала (с высотой, равной ).

Соединим середины верхних оснований отрезками прямых линий, получим полигон относительных частот.

Рисунок 3 – Гистограмма и полигон относительных частот

3. Эмпирическую функцию распределения получим с помощью накопленных относительных частот.

Построим график функции .

Рисунок 4 – График функции

4) Найдем числовые характеристики выборки:

Выборочную среднюю найдем по формуле ; здесь  – середина -го интервала, – частота -го интервала,  – количество интервалов.

Выборочную дисперсию находим по формуле

или

.

Так как объём выборки велик, то выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия практически совпадают. Для упрощения вычислений используем таблицу 6.

Таблица 6

Интервалы	Середина интервала	Частота
[1 – 2,2]	1,6	6	9,6	–3,7	82,14
(2,2 – 3,4]	2,8	6	16,8	–2,9	50,46
(3,4 – 4,6]	4,0	9	36,0	–1,3	15,21
(4,6 – 5,8]	5,2	12	62,4	–0,1	0,12
(5,8 – 7]	6,4	15	96,0	1,1	18,15
(7 – 8,2]	7,6	6	45,6	2,3	31,74
(8,2 – 9,4]	8,8	6	52,8	3,5	73,50
Сумма		60	319,2		271,32

Таким образом, имеем: 5,3; 4,6.

Выборочное среднее квадратичное отклонение =2,1.