Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель   заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на   и получаем обратную матрицу.

Пример

Задание. Найти обратную матрицу для 

Решение. Шаг 1. Находим определитель: 

Шаг 2. 

Шаг 3.  . Ответ

Вопрос №4 Определитель и его свойства. Правила вычисления определителя третьего порядка.

4.1 Определитель и его свойства.

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

 .

 

Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями,   -называется элементами определителя (   -номер строки,   -номер столбца).

Главная диагональ определителя содержит элементы   , противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Основные свойства определителей:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

4.2 Правила вычисления определителя третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу: Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников: Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых. Пример: Вычислить определитель: Решение: Воспользуемся правилом треугольников. Объясним картинку подробно, т.е. распишем каждое слагаемое отдельно:  

Итого:

Вопрос №5 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Исследование количества решений системы уравнений с помощью определителей

5.1 Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Метод Крамера сводится к последовательному вычислению нескольких определителей. При вычислении каждого определителя, выше второго порядка, программа умеет использовать элементарные преобразования, чтобы получить “удобный” столбец или “удобную” строку для дальнейшего разложения.

Габриель Крамер (1704–1752) швейцарский математик.

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, то есть ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся  ,  .

Действительно, если какое-либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

 

Система из двух уравнений с двумя неизвестными

 

 

решается с помощью формул Крамера:

 

,  ,

 

где   и  ,  .

 

При решении системы возможны три случая:

1. Определитель системы  . Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

2. Определитель системы  . Если при этом хотя бы один из определителей  и   не равен нулю, то система не имеет решений.

3. Если  ,   и  , то одно из уравнений есть следствие другого, система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

 

Пример. Задание.Решить систему уравнений  .

Решение. Вычислим определитель системы  , и дополнительные определители  , 

 

Система имеет единственное решение

  , 

 

Ответ:  .

Система из двух уравнений с тремя неизвестными

 

 

Из основной матрицы   при помощи поочередного вычеркивания столбцов получаем определители

 

,  ,  .

 

Дополнительные определители  ,  .

Возможны три случая:

1. Если из трех определителей

 

,  , 

 

хотя бы один не равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений, причем одному неизвестному можно дать любое значение. Пусть, например, отличен от нуля  , тогда неизвестному   можно придать любое значение (если  , то  , если  , то  ), а исходную систему переписать в виде,  . Отсюда неизвестные   определяются по формулам Крамера.

2. Все определители      , но один из определителей,  ,  ,   не равен нулю. В этом случае система несовместна, то есть не имеет решений.

3. Все выписанные определители равны нулю. Система имеет бесчисленное множество решений.

Система из трех уравнений с тремя неизвестными

 

 

При решении системы из трех уравнений с тремя неизвестными возможны три случая:

1. Определитель системы  . Система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера    ,

 

    ,  , где   и  ,  ,  .

 

2. Определитель системы равен нулю,  . Если при этом хотя бы один из определителей  , не равен нулю, то система несовместна, решений не имеет.

3. Если   и  , то система имеет бесчисленное множество решений.

 

Пример. Решить систему уравнений 

 

Решение. Вычислим определитель системы   и дополнительные определители

 

 и  ,  .

 

По формулам Крамера имеем, что    .

Ответ:  .

5.2 Исследование количества решений системы уравнений с помощью определителей