Магнитное поле в вакууме основные формулы

Сила, действующая на элемент длины проводника с током i, помещен­ного в магнитное поле (сила Ампера)

dF = i[dl, B], (4.1)

где dl — вектор элемента длины проводника, проведенный в направлении тока, В — вектор магнитной индукции.

Сила, действующая на электрический заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца)

F = q[vB]. (4.2)

Закон Био – Савара – Лапласа: вектор индукции магнитного поля, соз­данного элементом проводника dl, по которому течет ток силой i, равен

, (4.3)

где r — радиус – вектор, проведенный от элемента dl до той точки, в которой определяется индукция поля; μ₀ = 4π·10^-7 Гн/м — магнитная постоянная. В ска­лярной форме

, (4.4)

где α — угол между векторами dl и r.

М агнитная индукция в произвольной точке А поля, созданного прямоли­нейным проводником, по которому течет ток силой i, равна

(4.5)

где а — расстояние от точки А до проводника; φ₁ и φ₂ — углы, образованные радиусом – вектором, проведенным в точку А соответственно из начала и из конца проводника, с направлением тока.

Магнитная индукция в центре дуги окружности длиной L, обтекаемой то­ком силой i,

, (4.6)

где R — радиус окружности.

Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура L, пропорциональна алгебраической сумме токов, охваченных контуром:

. (4.7)

Магнитная индукция на оси длинного соленоида, по которому течет ток силой i, в точках, близких к его середине,

, (4.8)

где — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Магнитный момент замкнутого плоского контура, по которому течет ток силой i,

p_m = iS, (4.9)

где S — вектор, численно равный площади, ограниченной контуром; направле­ние этого вектора совпадает с направлением положительной нормали к кон­туру, т. е. направление вектора S образует с направлением тока в контуре пра­вовинтовую систему.

Механический момент, действующий на замкнутый контур с током в од­нородном магнитном поле с индукцией В,

M = [p_m,B]. (4.10)

Поток вектора магнитной индукции В (магнитный поток) сквозь поверх­ность S определяется интегралом

, (4.11)

где B_n — проекция вектора В на направление положительной нормали к эле­менту поверхности dS.

Работа сил поля по перемещению замкнутого контура, по которому течет ток силой i, равна

A = iΔΦ_m, (4.12)

где ΔΦ_m = Φ_m2 – Φ_m1 — изменение магнитного потока сквозь поверхность, ог­раниченную контуром.

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): при всяком изменении потока вектора магнитной индукции сквозь контур в нем возникает электродвижущая сила индукции, пропорциональная скорости изменения маг­нитного потока, т. е.

. (4.13)

Количество электричества, протекающего по контуру сопротивлением R при изменении магнитного потока сквозь контур на величину ΔΦ_m,

. (4.14)

Магнитный поток сквозь контур и сила тока в нем связаны соотноше­нием:

Φ_m = Li, (4.15)

где L — индуктивность контура.

Индуктивность длинного соленоида с немагнитным сердечником

, (4.16)

где n = — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; S — площадь его поперечного сечения; V — его объем.

Сила тока в цепи, содержащей постоянное сопротивление R и постоян­ную э. д. с. E и имеющую индуктивность L, изменяется при замыкании и раз­мыкании цепи по закону

. (4.17)

При замыкании цепи начальная сила тока i₀ = 0; при размыкании E = 0.

Намагниченность (вектор намагничения) J измеряется магнитным моментом единицы объема магнетика:

, (4.18)

где p_mi — магнитный момент i – ой частицы; N — число частиц, содержащихся в физически бесконечно малом объеме тела.

Вектором напряженности Н магнитного поля называется линейная ком­бинация векторов В и J

. (4.19)

Векторы магнитной индукции В и напряженности Н связаны соотноше­нием

В = μ₀μН, (4.20)

где μ — магнитная проницаемость среды (для вакуума μ = 1).

Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром:

, (4.21)

где α — угол между векторами Н и dl.

Магнитная индукция внутри длинного соленоида с магнитным сердечни­ком

B = μ₀μni, (4.22)

где n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; i — сила тока, протекающего по нему; μ — магнитная проницаемость вещества сердеч­ника.

Индуктивность длинного соленоида, объемом V с магнитным сердечни­ком

L = μ₀μn²V. (4.23)

Энергия магнитного поля тока i в контуре, обладающего индуктивностью L,

. (4.24)

Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия отнесенная к единице объема)

. (4.25)

Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электриче­ском и магнитном полях,

F = qE + q[vB], (4.26)

где q — заряд частицы; v — ее скорость; Е — напряженность электрического поля; В — индукция магнитного поля.

Зависимость массы движущейся частицы от ее скорости

. (4.27)

Здесь m₀ — масса покоящейся частицы; v — ее скорость; с = 3·10⁸ м/с — ско­рость света в вакууме.

Полная энергия частицы массы m (за исключением потенциальной энер­гии во внешнем силовом поле)

W = mc². (4.28)