2.2. Приклади характерних задач з розв’язанням

Задача 1. Для простих систем наявність термічного рівняння стану дозволяє розглядати як незалежні лише два з трьох параметрів Залежно від експериментальних умов, елементарну кількість теплоти , отриману системою в рівноважному процесі, можна виразити такими рівноправними формулами:

де коефіцієнти при диференціалах є в загальному випадку функціями

Довести:

а)

б)

Пояснити фізичний зміст величин

Розв’язання. а) Виключаючи з перших двох формул для , отримаємо

Порівняння з третьою формулою умови одразу дає потрібний результат.

б) Вважаючи послідовно і , з перших двох формул для знаходимо потрібні рівності.

Дамо фізичне пояснення коефіцієнтам, що використовуються. З умови задачі, вважаючи одразу отримуємо відомі теплоємності:

Аналогічно знаходимо:

з відповідною інтерпретацією.

Задача 2. Для термічних коефіцієнтів

простої PV-системи встановити співвідношення:

тут і  об’єм і тиск системи при .

Розв’язання. Запишемо формулу, що визначає термічний коефіцієнт розширення у вигляді

Перемножимо цю рівність з рівностями, що визначають і ; отримаємо

З урахуванням (див. задачу 2 розділу 1) співвідношення

знаходимо шукану залежність

Задача 3. Вирахувати різницю для 1 моля ідеального газу.

Розв’язання. Скористаємося співвідношенням (2.10). Для нашого випадку , . Тоді

Відповідно до закону Джоуля (див. розділ 0) для ідеального газу і різниця набирає вигляду

Для 1 моля з рівняння Менделєєва-Клапейрона знаходимо: . Підставляючи це значення в останню рівність, насамкінець отримуємо так зване співвідношення Майєра:

.

Задача 4. Знайти значення другого і третього віріальних коефіцієнтів для одного моля газу Ван-дер-Ваальса.

Розв’язання. Запишемо рівняння Ван-дер-Ваальса у вигляді

Розкладаючи в ряд за степенями (з урахуванням: отримаємо

Порівнюючи з віріальною формою термічного рівняння стану (0.15), знаходимо другий:

і третій:

віріальні коефіцієнти газу Ван-дер-Ваальса.

Задача 5. Визначити рівняння політропи ідеального газу в координатах вважаючи

Розв’язання. Скористаємося диференціальним рівнянням політропи (2.11). В нашому випадку Для ідеального газу з рівняння Менделєєва-Клапейрона знаходимо

Підставляючи цей вираз в (2.11) і розділяючи змінні, отримуємо

або

де  так званий показник політропи.

У результаті інтегрування маємо рівняння політропного процесу в координатах (V; T):

або, насамкінець

Для переходу до координат підставимо в попередній результат значення з рівняння Менделєєва-Клапейрона. Отримаємо:

Через те, що  константи, остаточно знаходимо рівняння політропи в змінних (V; P):

Відзначимо, що, зокрема, для адіабати і остання рівність переходить в так зване рівняння Пуассона:

Задача 6. Яку долю кількості теплоти, що передається ідеальному газу, становить здійснювана ним робота W в процесі політропного розширення.

Розв’язання. Нехай у результаті політропного розширення ідеальний газ змінює свій об’єм від значення до . При цьому кількість теплоти , що була ним отримана, відповідно до першого начала дорівнюватиме

де – зміна внутрішньої енергії газу, – початкова температура, – кінцева температура. Шуканою величиною в умові є відношення Для політропного процесу (див. попередню задачу) можна записати де  константа. Отже, роботу знаходимо у вигляді

.

З рівняння Менделєєва-Клапейрона знаходимо початкову і кінцеву температури ідеального газу: ; або з урахуванням рівняння політропи: Маючи це на увазі, зміну внутрішньої енергії можна записати:

У результаті, підставляючи і в шукане відношення , отримуємо

Для моль (див. задачу 3 розділу 2) маємо , що остаточно дає

де, нагадуємо, .

Задача 7. Визначити, виразивши через , теплоємність ідеального газу в процесі

Розв’язання. Звернемо увагу, що цей процес є політропним з показником політропи Розв’язуючи рівняння

відносно , знаходимо:

Задача 8. Отримати рівняння адіабати для ідеального парамагнетика, термічне рівняння стану якого виражається законом Кюрі: а ; тут – напруженість магнітного поля,  намагніченість,  константи.

Розв’язання. Як відомо з електродинаміки, елементарна робота (віднесена до одиниці об'єму) по збільшенню ізотропною парамагнітною системою своєї намагніченості на величину визначається (у гаусовій системі одиниць) формулою

Звідси бачимо, що функцію зовнішнього параметра несе тут величина , а функцію відповідної узагальненої сили – напруженість магнітного поля. Знак ““ у цій формулі означає, що збільшення намагніченості відбувається за рахунок здійснення роботи над системою.

Скористаємось рівністю (2.7), яка при перетворюється на диференціальне рівняння адіабати. Отже, в нашому випадку рівняння (2.7) набирає вигляду

Для ідеального парамагнетика ; крім того на підставі (2.8) і з умови задачі маємо

,

З урахуванням цих рівностей вихідне диференціальне рівняння адіабати отримуємо у вигляді

Розділяючи змінні і інтегруючі, знаходимо шукане рівняння адіабати ідеального парамагнетика в координатах :

Використовуючи термічне рівняння стану , можна переписати одержане рівняння у координатах або .

Ми розглянули ідеальний парамагнетик. Для нього правомірне дослідження асимптотики . Як видно з результату, в цьому випадку адіабатному процесу притаманний ефект насичення намагніченості. Елементарний математичний аналіз показує, що при , починаючи з деякого значення температури рівняння адіабати не визначає параметрів і . Це свідчить про те, що вихідні припущення, покладені в умові задачі, справедливі лише для досить високих температур.

Задача 9. Знайти рівняння процесу з ідеальним газом, теплоємність якого є лінійною функцією абсолютної температури:

Розв’язання. З умови маємо

З урахуванням формул (2.7) і (2.8) диференціальне рівняння цього процесу можна записати у вигляді

Оскільки для ідеального газу це рівняння набирає вигляду

Розділяючи змінні, отримуємо

звідки після інтегрування остаточно знаходимо рівняння процесу в змінних

Задача 10. Яку кількість теплоти потрібно додати одному молю газу Ван-дер-Ваальса, щоб при розширенні в порожнечу від об’єму до його температура залишалася незмінною? Вважати

Розв’язання. При розширенні газу в порожнечу робота не здійснюється. Отже, для вказаного процесу з першого начала термодинаміки можна записати

Відповідно до формули (0.30) внутрішня енергія одного моля газу Ван-дер-Ваальса має вираз

Тоді зміну отримаємо у вигляді (з урахуванням )

Оскільки в умові , остаточно знаходимо шукану кількість теплоти: