§ 2.5. Мінори та їх алгебраїчні доповнення

Означення 2.5.1. Мінором М -го порядку визначника d n-го порядку називається визначник -го порядку, який отримано з визначника d в результаті викреслювання його рядків та його стовпчиків

Означення 2.5.2. Доповняльним мінором до мінора М -го порядку визначника d n-го порядку називають мінор визначника d, який отримано після викреслювання з визначника d тих його рядків та стовпчиків, в яких розташовані елементи мінору М.

Зрозуміло, що порядок доповняльного мінору дорівнює .

Приклад. Записати мінор М другого порядку, який утворюють елементи визначника

,

що розташовані у першому та другому рядках та у четвертому та п’ятому стовпчиках. Навести доповняльний мінор до мінора М.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі та означеннями мінору та доповняльного мінору маємо:

, .

Примітка. Кожний елемент визначника n-го порядку будемо вважати мінором першого порядку. Тоді відповідний доповняльний мінор буде мати порядок .

Означення 2.5.3. Алгебраїчним доповненням мінору М -го порядку, елементи якого розташовані у рядках з номерами та у стовпчиках з номерами визначника d n-го порядку, називають добуток , де – доповняльний мінор до мінору М, а .

Приклад. Знайти алгебраїчне доповнення мінору М з попереднього прикладу.

Розв’язання. Для мінору М: . Звідки, . За означенням 2.5.3 маємо, що алгебраїчне доповнення до мінору М дорівнює:

.

Далі за формулою (3.7) для обчислення визначника третього порядку одержимо:

.

Отже, шукане алгебраїчне доповнення мінору М дорівнює 24.

Теорема 2.5.1 [1]. Добуток будь-якого мінору М визначника d на його алгебраїчне доповнення є алгебраїчною сумою доданків, які можна отримати при множенні членів мінору М на взяті зі знаком члени доповняльного мінору . Ці доданки – деякі члени визначника d, причому їх знаки у зазначеній сумі збігаються з тими знаками, з якими вони входять у суму для обчислення визначника d. Число s таке, що – алгебраїчне доповнення до мінору М. Число s визначається за означенням 2.5.3.

 

Нехай – деякий елемент визначника. Відповідне йому алгебраїчне доповнення будемо позначати . За означенням алгебраїчного доповнення , де – доповняльний мінор для елемента .

Приклад. Знайти алгебраїчні доповнення до відповідних елементів визначника:

.

Розв’язання. За означенням алгебраїчного доповнення

/згідно з формулою (3.8)/= ,

,

.

Теорема 2.5.2 (про розкладання визначника за елементами рядка або стовпчика). Визначник -го порядку ( ) дорівнює сумі добутків елементів деякого його рядка або стовпчика на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

(5.1)

 За теоремою 2.5.1 кожний доданок ( ) правої частини рівності (5.1) є сумою членів визначника . Кількість цих членів, з яких складається сума , дорівнює . Загальна кількість членів визначника , що входять у праву частину рівності (5.1), дорівнює , тобто збігається з кількістю членів визначника -го порядку. Легко бачити, що усі розглянуті члени визначника різні. Дійсно, члени, що входять до складу , містять елемент з i-го рядка на відміну від членів, які входять у добуток і містять елемент з i-го рядка, і т.д. Таким чином, усі розглянуті доданків – члени визначника та з урахуванням знаків (теорема 2.5.1) сума цих членів дорівнює визначнику .

Приклад. Обчислити визначник четвертого порядку:

.

Розв’язання. Розкладаємо визначник за елементами того рядка (стовпчика), який містить найбільшу кількість нульових елементів, наприклад, за елементами першого рядка. Одержимо

.

Узагальненням теореми про розкладання визначника за елементами рядка є теорема Лапласа.

Теорема 2.5.3 (теорема Лапласа) [1]. Нехай у визначнику -го порядку довільно обрано рядків ( ). Тоді сума добутків усіх мінорів -го порядку, які містяться в обраних рядках, на їх алгебраїчні доповнення дорівнює визначнику .

 

Приклад. За допомогою теореми Лапласа обчислити визначник з попереднього прикладу.

Розв’язання. Обираємо у визначнику два останні рядки. З них утворюється шість мінорів другого порядку. За теоремою Лапласа маємо:

.

Порівняйте отриманий результат з результатом попереднього прикладу.