§ 2.6. Правило Крамера
Розглянемо визначник -го порядку
.
Будемо
розкладати його за елементами
-го
стовпчика, отримаємо
.
Після
заміни у одержаному розкладі чисел
іншими числами
,
маємо суму
.
Цій сумі відповідає визначник
,
який
отримано з визначника заміною елементів
-го
стовпчика числами
.
Якщо замість чисел
взяти елементи якого-небудь іншого
стовпчика визначника
,
що відмінний від
-го
стовпця, то визначник
буде
дорівнювати нулю, оскільки він містить
два однакових стовпчика. Таким чином
доведена лема.
Лема 2.6.1. Сума добутків алгебраїчних доповнень елементів будь-якого стовпця (рядка) визначника на відповідні елементи іншого стовпця (рядка) дорівнює нулю
.
Розглянемо далі систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими
(6.1)
Отримаємо
явні вирази для розв’язків системи
(6.1) через коефіцієнти
цієї
системи та вільні члені
у припущенні, що визначник системи
(визначник її матриці) відмінний від
нуля.
Теорема 2.6.1 (правило Крамера). Якщо визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь (6.1)
.
(відмінний від нуля), то система має єдиний розв’язок, тобто є сумісною та означеною. Цей розв’язок визначається за правилом Крамера:
, 
, …
, 
,
(6.2)
де
–
визначник, який отримано з визначника
після заміни
-го
стовпця стовпчиком вільних членів.
Спочатку
доведемо, що при
система (6.1) має єдиний розв’язок.
Розширену матрицю
системи (6.1) за допомогою скінченого
числа елементарних перетворень її
рядків приведемо до східчастого вигляду
(теорема 1.2.1). При цьому матриця А
системи (6.1), що складається з коефіцієнтів
при невідомих, також буде приведена до
східчастого вигляду С.
За умовою теореми визначник матриці А
системи
.
Згідно з властивостями 3 та 9 визначника
при одному елементарному перетворенні
рядків визначника його модуль не
змінюється. Звідки виходить, що визначник
східчастої матриці С
не дорівнює нулю, оскільки його модуль
дорівнює
,
а
.
Таким чином, східчаста матриця
С
має верхній трикутний вигляд:
,
причому
.
Дійсно, за формулою (3.6) визначник цієї
матриці дорівнює добутку
і, як було показано вище, є відмінним
від нуля. Звідки виходить, що усі множники
у добутку, що розглядається, відмінні
від нуля.
Система рівнянь з матрицею східчастого вигляду
,
як
відомо, еквівалентна вихідній системи
(6.1). Але ця система рівнянь має, очевидно,
єдиний розв’язок, оскільки
,
де
– кількість ненульових рядків у
східчастій матриці
.
Таким чином, система (6.1), також має єдиний
розв’язок.
Тепер
переходимо до доведення формул (6.2).
Помножимо перше рівняння системи (6.1)
на
,
друге на
,
…, а останнє на
та додамо один до одного отримані
рівняння, у підсумку будемо мати таке
рівняння
.
За
лемою 2.6.1 множники при
дорівнюють нулю. Множник при
за теоремою 2.5.2 (про розкладання визначника
за рядком) дорівнює
,
а вільний член рівняння – це визначник
.
Таким
чином, маємо
.
Звідки, враховуючи, що
,
виходить
.
Аналогічним чином можна показати, що
, …
,
.
Наслідок з теореми 2.6.1. Якщо система однорідних лінійних рівнянь з невідомими
має хоч один нетривіальний розв’язок, то її визначник дорівнює нулю.
Припустимо супротивне, що визначник цієї однорідної системи не дорівнює нулю і при цьому система має нетривіальний розв’язок. Згідно з теоремою 2.6.1 при система має єдиний розв’язок (6.2), який є нульовим, і таким чином ненульових розв’язків не має. Прийшли до суперечності.