Контрольні питання.

1. Як записується рівняння простої лінійної регресії.

2. Який економічний зміст рівняння простої лінійної регресії.

3. Як охарактеризувати коефіцієнт а.

4. Як охарактеризувати коефіцієнт b.

5. Як розраховується коефіцієнт кореляції.

6. Який економічний зміст має коефіцієнт кореляції.

7. Як розраховується коефіцієнт детермінації.

8. Який економічний зміст коефіцієнта детермінації.

9. Як оцінити вплив будь-якого фактора на показник?

Лабораторна робота 5 Побудова нелінійних економетричних моделей

Мета: ознайомитися з кривими зростання, які використовують для опису нелінійного зв’язку між двома змінними; навчитися розраховувати невідомі параметри нелінійної парної регресії; оцінювати якість моделі та робити прогноз.

Теоретичні відомості

Найбільш популярною моделлю в економіці є лінійна регресія. Проте не всі економічні процеси можна нею моделювати. Тому на практиці використовуються складніші моделі з нелінійною залежністю між показником y та фактором x. Економічна практика вже накопичила певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в макро- та мікроекономічних дослідженнях. За методикою оцінок параметрів розглядають парні нелінійні регресії двох видів:

1. квазілінійні – нелінійні за факторами, але лінійні за невідомими параметрами, які підлягають оцінці;

2. нелінійні за факторами і параметрами.

Квазілінійні регресії можна описати в загальному вигляді рівнянням:

, (5.1)

де - будь-яка математична функція від x.

Зупинимося на функціях зростання, які шляхом перетворень зводяться до лінійної регресії виду (1.1) за допомогою заміни . Отже маємо:

. (5.2)

Для таких функцій зберігається вся методологія досліджень, яку ми детально розглядали у випадку простої лінійної регресії, але в формулах літера x заміняється на літеру z. В табл.5.1 наведено ряд парних нелінійних регресій.

Більш складними, з точки зору заміни змінних, є парні нелінійні регресії, які є нелінійними як за факторами, так і за оцінюваними параметрами, оскільки для приведення їх до лінійної регресії необхідно зробити заміну кількох величин. Як приклад розглянемо конкретну функцію виду (8) з табл.5.1. Отже, нелінійна парна регресія має вигляд:

.

Таблиця 5.1

Функції, які використовуються в економетричних дослідженнях

№	Математична модель кривої зростання	Заміна змінної	Коефіцієнт еластичності
Регресії, нелінійні за фактором
Регресії, нелінійні за показником
		,
		, ,
		, ,
		,
		, ,

Логарифмуванням регресії зліва і справа та послідовною заміною величин і параметрів потрібно привести нелінійну парну регресію до лінійної парної регресії:

.

Після заміни:

, ,

лінійна регресія набуває вигляду:

.

Для цієї регресії спочатку знаходяться оцінки параметрів і , які можна переписати у вигляді:

, .

Потім знаходимо оцінки параметрів , :

, ,

де >0, >0.

В цьому випадку, подальший аналіз отриманої математичної моделі аналогічний методиці дослідження простої лінійної регресії.

Вибіркову модель можна подати в матричному вигляді :

, де

– вектор спостережень за залежною змінною моделі ;

-матриця спостережень за пояснюючими змінними моделі, яку ще називають регресійною матрицею ;

- вектор оцінок параметрів моделі (вектор параметрів вибіркової моделі) ;

- вектор залишків моделі.

Для всіх наведених вище форм представлення загальної лінійної моделі прийняті наступні загальні позначення, які будуть у подальшому постійно використовуватися :

n – розмір статистичної вибірки (кількість спостережень в статистичній вибірці);

m – число незалежних (пояснюючих) змінних моделі ;

k = m + 1 – число параметрів моделі.

Тоді оцінювання параметрів загальної лінійної економетричної моделі на основі деякої статистичної вибірки здійснюють за схемою:

1. формування вектору спостережень за залежною змінною моделі Y ;

2. формування матриці спостережень за незалежними змінними моделі X;

3. формування матриці ;

4. формування матриці ;

5. визначення оберненої матриця ;

6. визначення вектору оцінок параметрів моделі як добутку матриць і .