1. Определение максимума

2. Определение минимума.

3. Признаки максимума и минимума.

Те значения аргумента, при которых значения функции являются наибольшими или наименьшими называются точками максимума или минимума.

Значения функции при этих значениях аргумента – максимумом или минимумом.

Максимумы, минимумы функции называются экстремумами функции.

Точки максимума, минимума функции называются критическими точками.

Точка максимума – граница перехода от возрастания к убыванию, точка минимума – граница от убывания функции к возрастанию.

Определение 1. Функция имеет максимум при х=а, если при всех х, достаточно близких к х=α, если при всех х, достаточно близких к а выполняется неравенство .

Определение 2. Функции имеет минимум при х=а, если при всех х, достаточно близких к а выполняется неравенство

Признаки максимума, минимума функции

Определение. Если функция при х=а имеет максимум, то:

1. 

2. при переходе аргумента через х=а меняет знак с «+» на «-»

Определение. Если функция при х=в имеет минимум, то:

1. 

2. при переходе аргумента через х=в меняет знак с «-» на «+»

Правило исследования функции на экстремум по I производной.

1. Находим .

2. Решаем уравнение находим х₁; х₂; х₃ … Располагаем в порядке возрастания.

3. Определяем знаки при х<х₁, затем при х₁<x<x₂ и т.д.

4. Находим у_макс, у_мин.

Примеры

1.

I

II

III Составим таблицу.

х	(-∞;-1]	x= -1	[-1;4]	x=4	[4;∞)
f/(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗				↗

-1 4

Строим точки - max

Решить в аудитории:

2. - max

- min

Домашнее задание

1)

- max

- min

2 )

- max

- min

Урок № 51. Тема 5. 14. Выпуклость, вогнутость графика. Точка перегиба.

План.

1. Выпуклость графика.

2. Вогнутость графика.

3. Точка перегиба.

4. Признаки выпуклости и вогнутости кривой

Рассмотрим кривую, являющуюся графиком некоторой функции

Проведя касательную АВ, мы видим, что точки кривой, смежные с точкой касания и лежащие по обе стороны от нее располагаются ниже касательной. В таком случае говорят, что кривая выпукла в точке А

.

Рассмотрим следующую кривую.

Здесь мы наблюдаем другое явление, а именно: точки кривой, близкие к точке касания С и расположенные по разным сторонам от нее лежат выше касательной СД. В этом случае говорят, что кривая в точке С вогнута и часть кривой между точками P и Q удовлетворяющую этому условию называют вогнутой.

Рассмотрим еще кривую. Здесь в точке А происходит переход от выпуклой части кривой к вогнутой. Точка Є называется точкой перегиба.

Признаки выпуклости и вогнутости кривой

Теорема. Если вторая производная функции в данном промежутке значения х положительна то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательная, то выпукла.

Пример. Узнать выпукла или вогнута кривая в точке, абсцисса которой равна -2

Вывод кривая выпукла в точке, абсцисса которой равна х = -2

Нахождение точки перегиба

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Правило. Чтобы найти точку перегиба кривой нужно:

1) Отыскать вторую производную функции .

2) Приравняв ее к нулю решить полученное уравнение, пусть действительные корни будут х₁, х₂, х₃…

3) Расположить значения х₁, х₂, х₃… в порядке возрастания подставить во вторую производную сначала любое число меньшее х₁, затем любое число большее х₁ но меньшее х₂ и т.д.

Если при этом произойдет смена закона (независимо с «+» на «-« или наоборот, то соответствующее значение х будет точкой перегиба.

4) Найти ординаты точек, для чего подставляем найденные значения х в первоначальную функции.

Примеры.

I . Найти точку перегиба.

1) 2) 3) 6х=0 х=0

х= -1

х=1

Вывод. При х=О имеет место точка перегиба.

Ответ. Точка О (0;0) точка перегиба.

II

Ответ. Точка перегиба С (1;-1)

Домашнее задание.

Исследовать на перегиб функции

1) (0; 0)

2) (-1; 2)

3)

Исследовать на экстремум по I производной

4) Исследовать на экстремум по I производной и точку перегиба

Ответ.

Урок 54.Тема 5.16. Наибольшее, наименьшее значения функции на промежутке. Задачи на максимум, минимум функции.

План.