1.8. Потенциал электрического поля

Известно, что силы гравитационного и электрического взаимодействия одинаково зависят от расстояния, векторы гравитационных и кулоновских сил при взаимодействии точечных тел направлены по прямой, соединяющей взаимодействующие тела. При перемещении тела между двумя точками в гравитационном поле работа силы тяжести не зависит от формы траектории его движения. Поэтому можно предположить, что при перемещении заряженной частицы в электростатическом поле из одной точки в другую работа сил электрического поля также не зависит от формы траектории. При перемещении частицы по замкнутой траектории эта работа равна нулю. Поле, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным полем. Гравитационное и электростатическое поля являются потенциальными полями.

Работа сил в однородном электрическом поле. Докажем независимость работы сил электростатического поля от вида траектории движения заряда между двумя точками однородного поля. Пусть в однородном электрическом поле напряженностью  электрический заряд q перемещается из точки В в точку D (рис. 1.23). Если бы заряд двигался по прямой BD, то работа сил электрического поля была бы равна

,

где S – модуль вектора перемещения,  – угол между направлениями вектора кулоновской силы  и вектора перемещения заряда .

Если заряд из точки B сначала движется по прямой в точку C, а затем по прямой из точки C в точку D, то работа сил электрического поля по-прежнему будет равна . Действительно,

.

Таким образом, работа сил однородного электрического поля при перемещении электрического заряда по прямой BD и по ломаной BCD одинакова и равна произведению электрического заряда на напряженность электрического поля и расстояние, на которое переместился заряд вдоль линии напряженности электрического поля:

.

Любую кривую, соединяющую точки B и D в однородном электрическом поле, можно приближенно представить состоящей из последовательных отрезков, расположенных параллельно и перпендикулярно линиям напряженности. Применив такие же рассуждения для каждого участка траектории, получим, что полученное для работы выражение справедливо для вычисления работы сил однородного электрического поля при движении заряда по любой траектории.

Рис. 1.24

Работа сил в поле точечного заряда. Определим работу, которая совершается при перемещении заряда в электрическом поле, источником которого является точечный положительный заряд Q. Пусть положительный пробный заряд q находится сначала в точке M на расстоянии  от заряда Q, а затем оказывается в точке N на расстоянии  от заряда Q (рис. 1.24). Допустим также, что заряд двигался вначале вдоль радиуса по прямой MK, а затем по дуге KN окружности радиусом . Тогда работа по перемещению заряда из точки M в точку N равна сумме работ на участках MK и KN. Работа по перемещению заряда по дуге равна нулю, так как на этом участке векторы силы и перемещения перпендикулярны друг другу. Остается найти работу, совершаемую полем при перемещении пробного заряда вдоль радиуса, то есть вдоль линии напряженности. Но на этом участке в каждой точке сила, действующая на заряд со стороны электрического поля, принимает новое значение. Однако на очень малом отрезке пути  вдоль линии напряженности элементарную работу сил электрического поля можно принять равной

,

где r – расстояние от источника поля до выделенного отрезка . Работу сил электрического поля при перемещении пробного заряда q из точки M, расположенной на расстоянии  от заряда Q, в точку K, расположенную на расстоянии , можно найти как сумму элементарных работ на малых отрезках пути:

.

Операция нахождения такой суммы при переходе к бесконечно малым значениям перемещения называется интегрированием. Интегрирование в данном случае приводит к следующему результату:

.

(1.6)

Легко показать, что если пробный заряд будет перемещаться по другой траектории, например, из точки M в точку L по дуге окружности, а затем вдоль радиальной прямой в точку N, то результат окажется таким же. Следовательно, работа сил поля точечного заряда по перемещению пробного заряда по произвольной траектории не зависит от формы траектории и определяется лишь положениями начальной и конечной точек, то есть поле точечного заряда является потенциальным.

Но если действующие силы потенциальны, то работу этих сил можно представить как разность потенциальных энергий в начальной и конечной точках траектории:

.

(1.7)

Сопоставление формул (1.6) и (1.7) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q в поле заряда Q:

.

(1.8)

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, значение которого можно задать так, чтобы упростить решение задачи. Однако работа сил поля не зависит от этой произвольной постоянной, поскольку она определяется разностью потенциальных энергий. Значение постоянной интегрирования выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

.

Таким образом, электростатическое поле потенциально, и любая заряженная частица в нем обладает потенциальной энергией. Разные пробные заряды будут обладать в одной и той же точке поля разной потенциальной энергией. Однако отношение потенциальной энергии к величине пробного заряда будет одним и тем же.

Аналогично тому, как была введена силовая характеристика электрического поля – его напряженность, введем энергетическую характеристику электрического поля – потенциал:

.

(1.9)

Потенциалом электрического поля в данной точке называется отношение потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к этому заряду. Из (1.9) следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд.

Сравнив выражения (1.8) и (1.9), получим выражение для потенциала поля точечного заряда:

.

Потенциал определен с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора нулевого уровня потенциала. Обычно полагают равным нулю потенциал поля в точке, удаленной бесконечно далеко от точечного источника поля; то есть при  потенциал . При таком условии . Тогда выражение для потенциала поля точечного заряда имеет вид:

.

Рассмотрим поле, созданное системой N точечных зарядов . Расстояние от каждого заряда до данной точки поля обозначим . Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q, равняется алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым зарядом в отдельности:

.

(1.10)

Сопоставив выражение (1.10) с выражением (1.7), получим для потенциальной энергии заряда q в поле системы зарядов выражение

.

Следовательно, при условии обращения потенциальной энергии в нуль на бесконечности, получаем:

.

(1.11)

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Из (1.9) следует, что заряд, находящийся в точке с потенциалом , обладает потенциальной энергией:

.

Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

.

(1.12)

Если заряд q из точки с потенциалом  удалить на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), то работа сил поля будет равна:

.

(1.13)

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля на бесконечность.

Формулу (1.13) можно использовать для установления единиц потенциала. За единицу потенциала принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую бесконечно удаленного единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. В системе единиц СИ единицу потенциала называют Вольтом,  – это разность потенциалов двух точек электрического поля, при переходе между которыми заряда  поле совершает работу :

.

В системе СГСЭ единица потенциала не имеет специального названия.