2.2 Використання оберненої матриці

Маємо систему m лінійних рівнянь, що містять m невідомих:

АХ=R. (2.1)

Обчислюємо методом приклеювання обернену матрицю А^-1. Рівність (2.1) зліва множимо на А^-1. Маємо:

A^-1 ∙AX=A^-1∙R <=> X=A^-1R. (2.2)

Зауважимо, що знаходження оберненої матриці А розмірності більше 3 можливе за допомогою пакета прикладних програм на ЕОМ. Наприклад, використовуючи програму Excel, визначимо А^-1. Для цього у відповідних клітинках записуємо матрицю А. Виділяємо для А^-1 мишкою місце відповідної розмірності. Після цього за допомогою кнопки F (функція) викликаємо програму МОБР, де вказуємо адресу матриці А і натискаємо одночасно на клавіші Ctrl+Shift+Enter. Тепер за допомогою програми МУМНОЖ отримуємо добуток А^-1 на вільний стовпець вільних членів, який заздалегідь записаний в певних клітинках.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь:

Розв'язування

Самостійно обчисліть матрицю А^-1 і покажіть, що:

Тепер за формулою (2.2) обчисліть:

Відповідь: х₁=1; х₂= –2; х₃=3; х₄= –3.

2.3 Знаходження власних чисел і власних векторів матриць

Будемо розглядати матриці розмірністю 3х3 і 4х4.

Матриця dim 3x3:

.

Тоді дане рівняння для даної матриці являє собою визначник третього порядку, який прирівнюємо до нуля:

. (2.3)

Обчислюємо цей визначник і отримаємо:

. (2.4)

Пояснення: trA = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ – слід матриці А.

S = A₁₁ +A₂₂ + A₃₃. _­­ (2.5)

S – сума діагональних алгебраїчних доповнень,

detA – визначник матриці А.

Із курсу вищої математики відомо, що для симетричної матриці А характеристичне рівняння має три дійсних і різних корені. Ці корені називають власними значеннями матриці А.

Матриця dim 4x4:

.

Далі для даної матриці характеристичне рівняння має вигляд:

,

або ,

де ;

;

Приклад 1. Обчислити власні значення матриці А:

. (2.6)

Обчислюємо: trA = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ = 1 + 5 + 1 = 7.

; _{; .}

S

R₆

= A₁₁ + A₂₂ + A₃₃ = 4 – 8 + 4 = 0.

Визначник матриці А визначимо за теоремою Лапласа:

detA = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃. _­

Маємо: ;

detA = 14 + 13 + 3(–14)=36.

Х арактеристичне рівняння має вигляд:

.

Нехай . Тоді:

;

.

Прирівняємо першу похідну до нуля:

.

; ₁=0 – точка максимуму;

.

Отже, – точка мінімуму.

.

Графік функції виглядає так:

Рисунок 2.1

З цього графіка робимо висновок, що f() має три дійсних корені, причому має таку оцінку: 0 < ₂ < ₃ <=> 0 < ₂ < 14/3, λ₁ < 0.

Ясно, що f(3) = 27 – 79 + 36 = 0

Отже, ₂=3. Тоді за теоремою Безу f(x) ділиться на двочлен 3.

Розв’язуємо квадратне рівняння:

₂  4  12 =>₁= –2; ₃ = 6.

Відповідь. Матриця А має три власні значення: ₁­= –2; ₂ = 3; ₃ = 6.

Приклад 2. Обчислити власні значення матриці А.

.

Обчислюємо:

trA = 1 + 2 + 3 + 4 = 10;

S = 0 + 3 + 4 + 1  10  6 = 8;

P = 0  16 + 4  6 = 18;

detA = 7.

Характеристичне рівняння має вигляд:

Нехай Тоді

Прирівняємо першу похідну до нуля:

Використовуючи аналогічну методику, яку застосовували в прикладі 1, знаходимо корені квадратичного рівняння:

λ₁ = 10,58, λ₂ = 1,47, λ₃ = 0,35, λ₄ = 1,24.

Означення: Вектор Х(m; n; p) називається власним вектором матриці А, якщо справедлива рівність:

АХ = Х. (2.7)

Без доведення запишемо робочу формулу для знаходження проекції m; n; та p.

. (2.8)

Підставляючи в систему (2.8) ₁, ₂, знайдемо проекції трьох власних векторів. Запишемо форму для знаходження розв’язків системи (2.8).

. (2.9)

У формулі (2.9) t R.

Для матриці А (2.6) ми отримали три власні значення ₁ = –2; ₂ = 3; ₃ = 6.

Обчислимо власні вектори цієї матриці:

а) для ₁ = –2 за формулами (2.9) маємо

.

Виберемо t=1/20, тоді отримаємо .

б) для ₂ = 3 маємо аналогічно .

в) для ₃ = 6 маємо .

Легко переконатись, що ; ; .

Без доведення приймаємо такий факт: власні вектори симетричної матриці взаємно перпендикулярні. Сформулюємо матрицю V, стовпцями якої є проекції власних векторів:

. (2.10)

Розглянемо систему трьох лінійних диференціальних рівнянь:

. (2.11)

Без доведення запишемо розв’язок цієї системи:

. (2.12)

С_і ( ) – довільні константи.

Зауважимо, що _i в формулі (2.12) є власним значенням матриці А для формули (2.11).

Приклад. Знайти розв’язок системи диференціальних рівнянь:

.

Розв’язування

Для матриці А формуємо характеристичне рівняння, яке має вигляд:

³ – 9² + 23 – 15 = 0.

Обчислюємо три власні значення матриці А:

₁ = 1; ₂ = 3;  = 5.

Власні вектори мають такі значення:

;

;

.

Тоді матриця V прийме такий вигляд:

. (2.13)

За формулою (2.12) маємо:

.

На основі даного прикладу наведемо ще один важливий фактор. Знаючи матрицю V (2.13), методом “приклеювання” обчислимо обернену матрицю V^-1.

. (2.14)

Тепер обчислимо такий добуток: V^-1AV.

Отримали так звану діагональну матрицю, яка складається з нулів, а на головній діагоналі стоять власні значення матриці А.

Без доведення запишемо таку важливу формулу (2.15):

. (2.15)

Якщо нам відома матриця V, що формувалася із проекцій власних векторів матриці А, то формула (2.15) дає можливість обчислити діаго-нальну матрицю .

Для прогнозування знаків коренів характеристичного рівняння (2.4) без їх обчислення розглянемо питання про його належність до полінома Гурвіца.