Умножение векторов

Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1. имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2. перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3. направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов).

Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .

Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно. В результате получают число.

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Пусть заданы два вектора и .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

.

Угол между векторами вычисляется по формуле

,

или в координатной форме .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

.

Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:

.

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е.  .

Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:

.

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Задача. Определить внутренние углы c вершинами .

Решение. Найдем . Для этого надо найти векторы и . Зная векторы и , из формулы (2) получим

Легко видеть, что . Тогда

.

Отсюда .

Аналогично, находя предварительно, что , получим

.

Отсюда и .

Задача. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

Решение. Найдем вначале площадь параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. По определению векторного произведения . Но

.

Тогда .

Следовательно, .

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами .

Решение. Найдем координаты векторов . Очевидно, что .

Тогда . Но

. .

Следовательно, .