3.4. Применение дифференциала.

Дифференциал применяется для приближенных вычислений и оценки погрешностей.

Согласно определению дифференциала ∆у≈dу. Но так как , а , следовательно, у(х+∆х)-у(х)≈у'(х)dx или у(х+∆х)≈у(х)+у'(х)dx.

Эти формулы и используют для приближенных вычислений и оценки погрешностей в случае, когда у'(х)≠0.

Пример 1. Найти приращение функции , если ее аргумент изменяется от 1 до 1,001.

Решение:

Воспользуемся формулой: , тогда . Подставим в полученную формулу значения х=1 и ∆х=0,001 и найдем ∆у: .

Пример 2. Найти приближенное значение функции при s= 2,001.

Решение:

Воспользуемся формулой: . Так как

, то

Пример 3. Вычислить без помощи таблиц и калькуляторов .

Решение:

Воспользуемся формулой: . Тогда, , х=81, а ∆х=8. Согласно формуле:

Пример 4. С какой точностью можно определить площадь поверхности сферы радиуса R=1,03 см, если радиус задан с точностью  R=0,005 см?

Решение:

Так как площадь сферы можно найти по формуле , то

.

Пример 5. Найти приращение функции , если аргумент изменяется от 2 до 2,001.

Решение:

.

Пример 6. Найти приближенное значение функции при аргументе, равном 3,02.

Решение:

Воспользуемся формулой

у(х+∆х)≈у(х)+у'dx= .

Пример 7. Найти без помощи таблиц .

Решение:

Воспользуемся формулой: , где

, х=16, а ∆х=3.

Тогда .

3.5. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция у=f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Тогда производная этой функции f'(x), если она будет зависеть от х, заданной на каком-то промежутке, тоже может иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка и обозначают одним из символов: у'', f''(x), , . Производную от второй производной называют третьей производной и т.д.

Теперь рассмотрим дифференциалы высшего порядка. Дифференциал функции f(x), где х независимая переменная определяется формулой: dy=f'(x)dx, где dx – произвольное приращение аргумента х. Зафиксируем dx, тогда dy будет функцией от х. Дифференциал этой функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается или . Поскольку dx постоянен, то

.

Аналогично определяют дифференциал для любого n-го порядка функции: . Таким образом, дифференциал n-го порядка функции равен произведению n-ой производной этой функции на n-ю степень дифференциала независимой переменной.

3.6. Применение производных и дифференциалов высших порядков.

Пример 1. Гармоническое колебание описывается уравнением: . Как меняется со временем скорость и ускорение колеблющегося тела?

Решение:

, .

Пример 2. Дано уравнение прямолинейного движения точки: _. Найти наибольшую скорость движения точки.

Решение:

Сначала найдем скорость движения точки: _.

Затем исследуем v(t) на экстремум:

_{при .}

_при

_при

Точка х=2 является точкой максимума. v(2)= 12·2 - 3·2² = 12 (м/с).

Пример 3. Биологический процесс описывается уравнением: . Найти скорость протекания этого процесса и его ускорение в момент времени t=4c.

Решение: , .

,

тогда .