Отображения (функции, операторы)

В анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X –некоторое множество на числовой оси. Говорят, что на множестве X определена функция f, если каждому числу поставлено в соответствие определенное число . При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемой этой функцией, - ее областью значений.

Если же вместо числовых рассматривать множества какой угодно природы, то мы приходим к к самому общему понятию функции.

Пусть X и Y - заданные произвольные множества.

Отображением f множества X во множество Y называется закон, посредством которого произвольному элементу ставится в соответствие однозначно определенный элемент . Если , то отвечающий ему элемент из Y называется его образом (при отображении f), а элемент x – прообразом элемента y. Символически отображение записывается в виде: , или . Запись или означает, что элемент x при отображении f переходит в элемент y.

Отображение f множества X во множество Y называют также преобразованием множества X в Y , или оператором, действующим из множества X во множество Y, или функцией, определенной на X со значениями в Y. В случае X=Y говорят об отображении в себя.

Полным прообразом элемента совокупность все тех элементов , образом которых является данный элемент , т.е. множество

.

Образом отображения f называется множество

.

Вместо символа используется также символ f(X).

Пусть A – некоторое подмножество из X.

Если и , то множество

,

т.е. множество всех тех y, в каждый из которых при отображении f отображается хоть один элемент из подмножества A множества X, называется образом множества A и обозначается .

Если и , то множество

,

называется прообразом множества B и пишется

.

Отображение называется сюръективным, если для каждого элемента из множества Y имеется хотя бы один прообраз: , т.е. .

Примерами сюръективных отображений являются функции .

Отображение называется инъективным, если для двух различных элементов множества X образы также различны: , т.е. каждый образ обладает ровно одним прообразом x .

Примерами инъективных отображений f : D(⊂ R)→R могут служить монотонные функции и т.д.

Отображение называется биективным (взаимно однозначным), если оно сюръективно и инъективно одновременно.

Отображение называется тождественным, если каждому элементу множества X ставится в соответствие этот же элемент: .

Два отображения и называются равными, если . Обозначение: f=g.

Произведение отображений. Произведением (композицией или суперпозицией) двух отображений и называется отображение , определяемое условием

.

Произведение отображений в точке x вычисляется в результате последовательного действия сначала g , а затем (на полученный результат) функции f .

Пример. Пусть и . Тогда . Попутно мы доказали, что во множестве функций, на которых определены и , произведение отображений не является коммутативной операцией.

Обратное отображение. Отображение называется обратным к отображению , если и . Отображение f называется обратимым, если для него существует обратное отображение.

Теорема (критерий обратимости). Для того чтобы отображение f : X →Y было обратимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным.

Пример. 1) не является обратимым;

2) не является обратимым;

3) не является обратимым;

4) ] обратимо.