Группы, кольца, поля группа

Множество G с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1. операция в G ассоциативна: ;

2. в G существует нейтральный элемент : ;

3. Для каждого элемента существует обратный ему элемент :

.

Обозначение

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Относительно операции сложения группами являются множества Z, Q, R. Относительно операции умножения группами являются множества отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.

В группах по сложению нейтральный элемент называется нулевым ( или просто нулем ), а обратный элемент - противоположным (-а). В группа по умножению нейтральный элемент называют единичным (или просто единицей) и обозначают е, для обратного элемента название и обозначение сохраняется.

Пример 4. Доказать, что множество {0}, состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.

Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, т.к. 0+0=0. Из этого равенства следует, что этот единственный элемент служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна: (0+0)+0=0+(0+0).Следовательно, все (три) условия в определении группы выполнены. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество – коммутативная группа.

Пример 5. Доказать, что множество {+1,-1}, состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанно множестве, так как

(+1)(+1)=+1, (+1)(-1)=(-1)(+1)=-1, (-1)(-1)=+1.

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из этого равенства также следует, что существует единичный элемент е=+1. Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из этого равенства также следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.

КОЛЬЦО

Множество К, на котором заданы две операции – сложение (+) и умножение , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1. относительно операции сложения множество К – коммутативная группа,

2) операция умножения на множестве К ассоциативна:

;

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

.

Обозначение

Если операция умножения коммутативна: , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным.

Если для операции умножения существует единичный элемент e: , то говорят, что кольцо К – есть кольцо с единицей.

Кольцами являются множества Z, Q, R , причем все они – коммутативные кольца с единицей.

Как видим, кольцо – это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Пример 6. Доказать, что множество чисел вида

,

где m и n – целые числа, является кольцом.

Решеие. Операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел имеют тоже самое представление:

;

.

Числа , очевидно, целые для любых целых . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число . Для каждого числа противоположным элементом является число , так как

.

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.

ПОЛЕ

Множество П, на котором заданы две операции: сложение (+) и умножение , называется полем, если выполняются следующие условия:

1. П – коммутативное кольцо с единицей ( );

2. Для каждого элемента , отличного от нулевого ( ), существует обратный элемент : .

Обозначение

Как видим, поле – это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение и вычитание и деление. Полями, например, являются множества Q, R.

Пример 7. Доказать, что множество чисел вида

,

где p и q – рациональные числа, является полем.

Решеие. Операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел имеют тоже самое представление:

;

.

Числа , очевидно, рациональные для любых рациональных . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число . Для каждого числа противоположным элементом является число , так как

.

Единичным элементом служит число . В самом деле, для любого числа имеет место равенство:

.

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативны кольцом с единицей ( ). Осталось показать, что любое число , отличное от нулевого элемента , имеет обратный. В самом деле, учитывая, что

,

определим обратный элемент равенством

.

Тогда

.

Заметим, что знаменатель отличен от нуля для любых рациональных чисел p и q, не равных нулю одновременно. Действительно, равенство равносильно равенству , а это означает, что - рациональное число. Поскольку число - иррациональное, значит , т.е. обратный элемент существует для любого .

Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.