Похідні деяких функцій.

1. Яка границя використовується для знаходження похідних від функцій і ?

2. Знайти похідну від функції за означенням.

3. Яка границя використовується для знаходження похідної від функції ?

Правила диференціювання.

1. Сформулювати, записати і довести теорему про похідну від суми, різниці, добутку і частки функцій.

а) Які теореми використовуються при виведенні правил диференціювання ?

2. Яку рівність використовують при знаходженні похідної від функції ?

Теорема про похідну від оберненої функції і її геометричний зміст.

1. Сформулювати, записати і довести теорему про похідну від оберненої функції.

а) Який наслідок використовується при доведенні цієї теореми ?

2. Накреслити малюнок, який характеризує геометричний зміст цієї теореми.

2а. Якими є графіки функцій і ?

2_б). Сформулювати геометричний зміст теореми про похідну від оберненої функції.

3. Які рівності використовуються при знаходженні похідної від функції і ?

3а. Якою є область визначення функцій і ?

4. Які рівності використовуються при знаходженні похідних від функцій і ?

4а. В якому випадку з рівності випливає, що ?

5. Означення оберненої функції, приклади.

Теоремa про похідну від складної функції.

1. Сформулювати, записати і довести лему про приріст диференційовної функції.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про похідну від складної функції.

а. Яка лема, теорема і означення використовуються при доведенні теореми про похідну від складної функції ?

2. Яка рівність використовується при знаходженні похідної від степеневої і степеневопоказникової функції ?

3. Довести якими є похідні від парної, непарної, –періодичної функцій ?

4. Похідна від складної функції .

Гіперболічні функції, їх графіки і похідні.

1. Записати означення і накреслити графіки гіперболічних функцій. 2. Чому гіперболічні функції мають таку назву ?

3. Записати і довести рівність для і .

4. Чи можуть графіки функцій і перетинатися, чому ? 5. Знайти похідні від гіперболічних функцій.

!Похідна від функції, заданої параметрично.

1. Сформулювати і записати означення плоскої Жорданової кривої. Записати параметрично рівняння еліпса.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про похідну від функції, заданої параметрично.

2а. Які теорема і наслідок використовуються при доведенні цієї теореми ?

Основні теореми про функції, які мають похідні.

1. Сформулювати і записати означення точок локального максимуму (мінімуму) функції.

2. Сформулювати означення точок локального екстремуму функції.

3. Чи може точка бути одночасно точкою локального максимуму і мінімуму функції ? Навести приклад.

4. Сформулювати, записати і довести теорему Ферма.

5. Яке твердження використовується при доведенні теореми Ферма ?

6. Сформулювати, записати і довести теорему Ролля.

7. Які теореми використовуються при доведенні теореми Ролля ?

8. Сформулювати геометричний зміст теореми Ролля. Накреслити малюнок.

9. Сформулювати, записати і довести теорему Коші.

10. Записати допоміжну функцію, яку використовують при доведенні теореми Коші.

11. Яка теорема використовується при доведенні теореми Коші ?

12. Сформулювати, записати і довести теорему Лагранжа.

13. Яка теорема використовується при доведенні теореми Лагранжа ?

14. Сформулювати геометричний зміст теореми Лагранжа. Накреслити малюнок.

15.Сформулювати, записати і довести наслідок до теореми Лагранжа. (Критерій сталості функції).

15а. Записати і довести тотожність, при доведенні якої можна використати критерій сталості функції.

Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень.

1. Сформулювати означення диференціала функції в точці.

2. Чому рівний диференціал функції від незалежної змінної ?

3. Яке твердження використовується для наближеної заміни приросту функції диференціалом.

Геометричний і механічний зміст диференціала. Правила диференціювання.

1. Сформулювати геометричний (механічний) зміст диференціала. Накреслити малюнок.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про диференціал від суми, різниці, добутку і частки функцій.

а) Вивести формулу для диференціала частки двох функцій. б) Яке твердження використовується при доведенні ?

Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціала І^го порядку.

1. Сформулювати означення інваріантності форми диференціала І^го порядку. 2. Означення складної функції, приклади.

!Умови монотонності функції і їх використання для доведення нерівностей.