Задача 2

Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных Гаусса. Найти общее, частное, базисное решения системы:

Решение. Выписываем расширенную матрицу:

За базисную переменную рекомендуется выбирать ту неизвестную, коэффициент при которой равен единице (во избежание дробных коэффициентов). Оставим без изменения третье уравнение (строку), а за базисную переменную примем . Воспользуемся элементарными преобразованиями, а именно: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй, затем умножим третью же строку на (-3) и сложим с первой. Тогда останется только в третьем уравнении (строке):

Оставим без изменения первую строку, переменную примем за базисную и исключим ее из третьей строки (во вторую строку не входит):

Во второй строке переменную принимает за базисную и исключаем из остальных строк:

В результате получаем систему с базисными переменными , , :

Выражая базисные переменные через остальные (их называют свободными переменными), получим общее решение системы:

Придавая свободным переменным произвольные значения, получаем множество частных решений, например:

Частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным решением:

Задача 3

Выполнить действия с матрицами:

Решение. Устанавливаем возможность выполнения указанных действий. Первая матрица имеет порядок , вторая . Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в результате умножения получается матрица порядка .

У второго произведения первая матрица имеет порядок , вторая , умножение возможно, итоговая матрица будет иметь порядок .

Сложение первого произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрица .

Следовательно:

1)

2)

3)

Задача 4

Найти ранг матрицы:

Решение:

Число линейно независимых строк матрицы равно четырем, следовательно, .

Задача 5

Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований.

Решение. В матричной форме систему линейных уравнений можно записать так: , где – матрица коэффициентов системы; – матрица-столбец неизвестных; – матрица-столбец свободных членов. Умножив слева обе части равенства на ( существует, если ), получим

,

здесь – единичная матрица.

Следовательно, чтобы найти решение системы линейных уравнений с неизвестными при помощи обратной матрицы, нужно матрицу, обратную матрице из коэффициентов системы, умножить на матрицу-столбец свободных членов. В результате получаем матрицу-столбец, которая и будет решением данной системы.

Найдем определитель матрицы

, следовательно, матрица обратима.

Первый способ вытекает из формулы, выражающей обратную матрицу

где – алгебраические дополнения элементов данной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения для элементов данной матрицы:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Обратная матрица имеет вид:

Необходимо сделать проверку: .

Найдем решение системы

Второй способ основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически этот процесс записывается так:

Решение: