Множественные (Многократные, повторные) выборки (?)

Одиночная случайная выборка из n элементов, взятая из целой популяции из N элементов не обязательно является репрезентативной для родительской популяции. Другая случайная выборка из n элементов из той е популяции может включать другое число бракованных изделий по сравнению с первой выборкой.

Давайте рассмотрим эту ситуацию на примере игральных карт. Допустим, что в целой колоде находится 52 карты (объём целой популяции N=52). Случайным образом отберём 12 карт (n=12) и посчитаем, сколько из них карт определённой масти (скажем, пики). Не правда ли, это похоже на подсчёт бракованных изделий в случайной выборке.

Вернём взятые карты в колоду, хорошо перетасуем колоду и выберем из неё ещё раз случайным образом 12 карт. Подсчитаем количество карт масти пики в этом случае. Скорее всего, результат будет иной, чем в первом случае.

Найдём среднее двух результатов: соберём общее количество карт масти пики в двух испытаниях и поделим на количество проведённых испытаний, т.е. на 2. В данном случае мы имеем дело с более крупной выборкой.

Эксперимент.

Определим число карт масти пики в каждом из 40 испытаний, выбивая всякий раз наугад по 12 карт из полной колоды (с возвратом ранее выбранных) и составим кумулятивную (совокупную, накопленную, с нарастающим итогом) пропорцию результатов по формуле

.

Для начала составим и заполним таблицу по результатам ваших испытаний. Она будет выглядеть как-то так:

№ испытания r	Пики x	Кумулятивное x	скользящее среднее
1	2	2	2,00
2	5	7	3,50
3	0	7	2,33
. . .	. . .	. . .	. . .

Для нахождения кумулятивного х суммируются все значения х, полученные в предыдущих испытаниях.

Для расчёта скользящего среднего используется формула: кумулятивное х/№ испытания.

После этого построим диаграмму распределения числа карт масти «пики» по проведённым 40 испытаниям (по оси x - номера проведённых испытаний; по оси y – число карт масти «пики»). Получится приблизительно такой график.

(рис. стр. 1160, фрейм 10).

Построим теперь график зависимости скользящего бегущего» среднего от числа испытаний.

(рис. на стр. 1160, фрейм 11).

Из графика видно, что

а) значения скользящего среднего на первых испытаниях сильно разняться (флуктуируют – изменяются нерегулярно);

в) по мере увеличения числа испытаний значения «бегущего» среднего располагаются более плотно вокруг значения 3.

Конечно, в данном случае мы знаем, что в колоде из 52 карт находится 13 карт масти «пики». Это знание позволяем нам вычислить вероятность события «любая взятая наугад карта будет иметь масть «пики»»:

Таким образом, в случайной выборке из 12 карт значение ожидания выбора карты масти «пики» составляет

Полученный результат совпадает с явлением, показанным на графике: по мере увеличения числа испытаний отношение кумулятивного х к r более плотно располагается около значения 3.

Подведём итоги.

а) эмпирическая (опытная) вероятность события А есть число, вычисляемое по следующей формуле: где x – число успешных исходов в n предшествующих испытаниях; n – число предшествующих испытаний. По сути дела таким образом вычисленная вероятность является относительной частотой.

в) число ожидаемых успешных исходов в выборке при проведении m испытаний вычисляется по формуле: E=m P(A), т.е. ожидание=(число испытаний) х (вероятность успешного исхода в одной произвольной выборке).

Пример:

Из предыдущих опытов известно, что 8% пластмассовых деталей, покрытых плесенью, являются бракованными. Определить:

а) вероятность того, что взятая наугад деталь является (i) бракованной, (ii) пригодной,

в) какое число пригодных деталей ожидается в партии из 4500 деталей.

Решение:: A – {бракованная деталь} и B – {пригодная деталь}.

Тогда

а) (i) P(A)=8/100=2/25; (ii) P(B)=92/100=23/5

в) E=m x P(B)=4500 x 23/25 =4140.

Заметим, что в данном примере выполняется ранее отмеченное свойство: события А и B являются дополнением друг к другу. Следовательно, P(A)+ P(B)= P(A)+ P( )=1.