Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно 6х6=36 (каждое число выпавших очков на одном кубике может сочетаться со всеми числами на другом кубике). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1;3), (3;1), (2;2). Следовательно, искомая вероятность

P(A)=3/36=1/12.

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 ( Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию A (среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных).

Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно х .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P(A)=( х )/ =(7!/(4!x3!)x3!/(2!x1!))/(10!/(6!x4!))=(35*3)/210=1/2.

Сложение вероятностей несовместных событий

Пусть в испытании имеются n возможных исходов, в которых исход x даёт событие А, а исход y даёт событие B. При этом события A и B являются несовместными, т.е. существует вероятность появления либо события A, либо события B, но не обоих событий одновременно. Тогда P(A или B)=

Итак, для двух несовместных событий

P(A или B)=P(A)+P(B).

Если события A и B не являются несовместными , т.е. одновременно может происходить и событие A и событие B, то P(A или B)=P(A)+P(B) - P(A и B).

Например,

при бросании игрального кубика вероятность выпадения числа, делящегося на 3 (т.е. 3 или 6) =2/6=P(A); вероятность выпадения числа, делящегося на 2 (т.е. 2, 4 или 6) =3/6=P(B).

Тогда вероятность выпадение числа, делящегося на 3 или делящегося на 2, вычисляется следующим образом

P(A)+P(B)=2/6+3/6=5/6.

Но, внимание!

Исход (6) попадает и в то и в другое множество исходов, т.е. события A и B не являются несовместными и исход (6) учитывался дважды. Вероятность одного из этих исходов должна быть удалена. P(«шесть»)=1/6=P(A и B).

Таким образом

P(A или B)=P(A)+P(B) - P(A и B)=2/6+3/6-1/6=2/3.

Независимые и зависимые события

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В.

Например, при бросании игрового кубика дважды исход первого бросания не влияет на появление 6 во втором бросании.

События являются зависимыми, когда появление одного события влияет на вероятность появления другого.

Закон умножения вероятностей

Рассмотрим сложный опыт, заключающийся в том, что производятся n независимых опытов. Сложный опыт порождает новые события, каждое из которых для n=2 обозначается (А,В) и заключается в том, что в первом опыте произошло событие А, а во втором - событие В. Данный сложный опыт порождает целое множество упорядоченных пар ( А, В).

Например, пусть первый опыт заключается в подбрасывании монеты – исходы (О или Р).

Второй опыт заключается в подбрасывании игрального кубика.

Сложный опыт, состоящих из этих двух независимых опытов породит следующие пары событий ( О, 1), ( Р, 1), ( О, 2), ( Р, 2), ( О, 3), ( Р, 3), ( О, 4), ( Р, 4), ( О, 5), ( Р, 5), ( О, 6), ( Р, 6).

Для двух независимых опытов справедливо равенство

P(A,B)=P(A)*P(B),

т.е. для двух независимых опытов вероятность события ( А, В), заключающегося в том, что в первом опыте происходит событие А, а во втором – событие В, равна произведению вероятностей события А в первом опыте и события В во втором опыте.

Для n независимых опытов формула умножения обобщается

P( A_1, A_2, …,A_n)= P(A₁)*P(A₂)*… *P(A_n).

Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годная и окрашенная.