Глава VI. Степени проверяемости

Теории могут быть более или менее строго проверяемыми, иначе говоря, более или менее легко фальсифицируемыми. Степень их проверяемости играет важную роль при выборе теорий

В этой главе я займусь сравнением различных степеней проверяемости, или фальсифицируемости, теорий при помощи сравнения классов их потенциальных фальсификаторов. Такой анализ совершенно независим от решения вопроса о том, возможно ли провести абсолютное различие между фальсифицируемыми и нефальсифицируемыми теориями. Действительно, можно сказать, что излагаемая в этой главе концепция «релятивизирует» требование фальсифицируемости теорий, показывая, что фальсифицируемость может иметь различную степень.

31. Программа и пример Как мы отмечали в разд. 23, некоторая теория фальсифицируема, если существует по крайней мере один непустой класс однотипных базисных высказываний, запрещаемых этой теорией, то есть если класс ее потенциальных фальсификаторов не пуст Представим, как уже делали в разд. 23, класс всех возможных базисных высказываний в форме круга, а возможные события— как радиусы этого круга В таком случае можно сказать, что по крайней мере один радиус или, может быть, лучше сказать, один узкий сектор (наличие у него ширины может представлять тот факт, что это событие является «наблюдаемым») должен быть несовместим с данной теорией и исключаться ею. Потенциальные же фальсификаторы различных теорий можно представить в виде секторов различной ширины, и о теориях — в соответствии с большей или меньшей шириной исключаемых ими секторов—можно сказать, что они имеют больше

149

или меньше потенциальных фальсификаторов. (Вопрос о том, можно ли вообще уточнить термины «больше» и «меньше», мы пока оставим открытым.) Далее можно сказать, что если класс потенциальных фальсификаторов некоторой теории «больше», чем аналогичный класс другой теории, то для первой теории будет существовать больше возможностей быть опровергнуто? опытом. В этом случае о первой теории можно сказать, что по сравнению со второй теорией она «фальсифицируема в большей степени». Это означает также, что первая теория больше говорит о мире опыта, чем вторая теория, так как она исключает больший класс базисных высказываний. Хотя класс допускаемых теорией высказываний при этом становится меньше, это не ставит под сомнение наше рассуждение, так как мы ранее установили, что теория ничего не утверждает об этом классе Таким образом, можно сказать, что количество эмпирической информации, сообщаемой теорией, или ее эмпирическое содержание, возрастает вместе со степенью ее фальсифицнруемости.

Пусть теперь нам дана некоторая теория, и сектор, представляющий базисные высказывания, которые она запрещает, становится все шире. В конечном счете базисные высказывания, не запрещаемые данной теорией, будут представлены оставшимся в результате узким сектором. (Если предполагается, что данная теория непротиворечива, то хотя бы один сектор должен остаться.) Подобную теорию, очевидно, будет очень легко фальсифицировать, поскольку она оставляет для эмпирического мира только очень узкую сферу возможностей и исключает почти все мыслимые, то есть логически возможные, события. Она столь много говорит о мире опыта, ее эмпирическое содержание столь велико, что у нее, по сути дела, мало шансов избежать фальсификации

Теоретическая наука как раз стремится к созданию таких теорий, которые легко фальсифицируемы в указанном смысле. Она стремится к ограничению пространства допускаемых событий до минимума—в пределе, если это вообще возможно, до такой степени, что любое дальнейшее ограничение привело бы к действительному эмпирическому опровержению данной теории Если бы нам удалось создать теорию такого типа, то эта теория описывала бы «наш конкретный мир» с такой

150

точностью, на которую вообще способна теория, так как она выделила бы мир «нашего опыта» из класса

точностью, достижимой для теоретической науки. В такой теории в качестве «допускаемых» были бы все события или классы явлений, с которыми мы действительно сталкиваемся в наблюдении, и только они*'.

32 Как следует сравнивать классы потенциальных фальсификаторов?

Классы потенциальных фальсификаторов являются бесконечными классами. Интуитивные термины «больше» или «меньше», которые к конечным классам мог) т применяться без особых мер предосторожности, к бесконечным классам подобным же образом применяться не могут.

Мы не можем легко обойти эту трудность. Нам не удастся это сделать, если для сравнения теорий вместо запрещаемых базисных высказываний или явлений мы будем рассматривать классы запрещаемых событий, для того чтобы установить, какие из них содержат «больше» запрещаемых событий. Дело в том, что число запрещаемых эмпирической теорией событий также является бесконечным, как это хорошо видно из того факта, что конъюнкция запрещаемого события с любым другим событием (неважно, запрещаемым или нет) также является запрещаемым событием.

Я рассмотрю три способа придания точного смысла интуитивным терминам «больше» или «меньше» в случае бесконечных классов с целью выяснить, можно ли какой-нибудь из них использовать для сравнения классов запрещаемых событий.

(1) Понятие кардинального числа (или мощности) класса Это понятие не может помочь решению нашей проблемы, поскольку легко можно показать, что класс £u потенциальных фальсификаторов имеют одно и то же кардинальное число для всех теорий*.

•¹ Дальнейшие соображения о целях науки см в [70, прил. *Х}, а также в [68]

* Тарский доказал, что при некоторых допущениях каждый класс высказываний является счетным (см [88, с. 100, прим. 10]). • Понятие меры неприменимо для решения нашей проблемы по тем же при чинам, то есть потому, что множество всех высказывания языка счетно

151

(2) Понятие размерности. Неясную интуитивную идею, по которой куб в некотором смысле содержит больше точек, чем, скажем, прямая линия, можно отчетливо сформулировать в точных логических терминах при помощи теоретико-множественного понятия размерности. Это понятие различает классы или множества точек по богатству «отношений соседства» между их элементами. Множества большей размерности имеют более богатые отношения соседства Понятие размерности, которое позволяет нам сравнивать классы <большей» или «меньшей» размерности, будет использоваться нами для рассмотрения проблемы сравнения степеней проверяемости. Это возможно потому, что базисные высказывания, соединенные конъюнктивно с другими базисными высказываниями, снова дают базисные высказывания, которые, однако, являются «более неэлементарными», чем их компоненты. И именно степень неэлементарности базисных высказываний может -быть связана с понятием размерности. Однако нами будет использоваться не понятие неэлементарности запрещаемых событий, а понятие неэлементарности допускаемых событий. Причина этого состоит в том, что запрещаемые теорией события могут быть произвольной степени неэлементарности, в то время как некоторые из допускаемых высказываний допускаются теорией только на основании их формы, или, точнее говоря, на том основании, что их степень неэлементарности «лишком мала, чтобы сделать их способными противоречить рассматриваемой теории. Этот факт можно использовать для сравнения размерностей*³.

(3) Отношение включения классов. Пусть каждый элемент класса а будет также элементом класса р, так,

** Немецкий термин «Komplex» переведен здесь и в других аналогичных местах как «неэлементарный» («composite»), а не как «сложный» («complex») Причиной этого послужило то обстоятельство, что указанный термин не является, как это имеет место в случае английского термина «сложный», противоположностью термину «простой» («simple»). Противоположность термина «простой» («emfach») выражается немецким «kompliziert» (ср. первый абзац разд. 41, где «kompliziert» переводится как «сложный») Принимая во внимание тот факт, что степень простоты является одной из основных тем этой книги, было бы неправильно говорить здесь (и в разд. 38) о степени сложности. Поэтому я и решил использовать термин «степень неэлементарности» («degree of composition»), который, думается, очень хорошо подходит к данному контексту

152

что а является подклассом р» (символически, аср) Тогда или каждый элемент р в свою очередь также является элементом о (в этом случае оба класса имеют одинаковый объем, иначе говоря, совпадают), или имеются элементы р, которые не принадлежат а. В последнем случае элементы ft, которые не принадлежат а, образуют «класс разности», или дополнение, а по отношению к р, а a является собственным подклассом р Отношение включения классов очень хорошо соответствует интуитивному смыслу слов «больше» или меньше», однако оно имеет один существенный недостаток Это от ношение можно использовать для сравнения двух классов только в том случае, когда один из них включает в себя другой. Следовательно, если два класса потенциальных фальсификаторов пересекаются, но не включаются один в другой или если они не имеют общих элементов, то степень фальсифицируемости соответствующих теорий нельзя сравнивать с помощью отношения включения классов. На основе этого отношения они несравнимы.

33. Степени фальсифицируемости, сравниваемые посредством отношения

включения классов

Следующие определения вводятся в предварительном порядке с целью их улучшения в ходе дальнейшего обсуждения размерности теорий (см. разд. 38, а так же [70, прил. I, *VII,*VIII])

(1) Будем говорить, что высказывание х «в большей степени фальсифицируемо», или «лучше проверяемо»,. чем высказывание у (в символической форме Fsb(x)> >Fsb(y)), если, и только если, класс потенциальных фальсификаторов х включает класс потенциальных фальсификаторов у в качестве собственного подкласса

(2) Если классы потенциальных фальсификаторов двух высказываний х и у совпадают, то эти высказывания имеют одинаковую степень фальсифицируемости, то есть Fsb(x)=Fsb(y).

(3) Если ни один из классов потенциальных фальсификаторов двух высказываний не включает другой как собственный подкласс, то два эти высказывания имеют несравнимые степени фальсифицируемости (Fsb(x)\\Fsb(y)).

Если выполняется (1), то всегда существует непу-

153

стое дополнение. В случае универсальных высказываний это 'дополнение является бесконечным. Следовательно, две (строго универсальные) теории не могут различаться тем, что одна из них запрещает конечное число единичных явлений, допускаемых другой теорией.

Классы потенциальных фальсификаторов всех тавтологических и метафизических высказываний пусты. В соответствии с (2) все такие классы, следовательно, совпадают. (Поскольку пустые классы являются подклассами всех классов, а следовательно, также и пустых классов, все пустые классы совпадают, иначе говоря, существует только один пустой класс.) Если мы обозначим эмпирическое высказывание через е, тавтологию и метафизическое высказывание (к примеру, чисто экзистенциальное высказывание) соответственно через t и т, то тавтологическим .и метафизическим высказываниям можно будет приписать нулевую степень фальсифицируемости и записать: Fsb(t)='Fsb(m)=0 и Fsb(e)>0.

Можно сказать, что противоречивое высказывание (которое обозначим через с) .имеет в качестве класса потенциальных фальсификаторов класс всех логически возможных базисных высказываний. Это означает, что с противоречивым высказыванием любое высказывание сравнимо по степени его фальсифицируемости. Таким образом, мы имеем Fsb(c)>Fsb(e)>0 (см. также |70, прил. *VII]). Если мы произвольно положим fsb(c)=\, то есть произвольно припишем число 1 степени фальсифицируемости противоречивого высказывания, то мы можем определить степень фальсифицируемости эмпирического высказывания е при помощи условия \>Fsb(e)>0. Согласно этой формуле, Fsb(e) всегда находится в интервале между 0 и 1, исключая его границы, то есть в «открытом интервале», ограниченном числами 0 и 1. Эта формула, исключающая противоречие и тавтологию (как и метафизические высказывания), выражает одновременно и требование непротиворечивости, и требование фальсифицируемости.

34. Структура отношения включения классов. Логическая вероятность

Мы провели сравнение степени фальсифицируемости двух высказываний, воспользовавшись отношением

154

включения классов. При этом на понятие «степень фальсифицируемости» переносятся все структурные свойства понятия отношения включения классов. Вопрос о сравнимости может быть прояснен при помощи рисунка, на котором некоторые отношения включения классов изображены слева, а соответствующие отношения проверяемости—справа. Арабские цифры справа соот

ветствуют римским цифрам слева таким образом, что римская цифра обозначает класс потенциальных фальсификаторов высказывания, помеченного соответствующей арабской цифрой. Стрелки на диаграмме, отражающие степени проверяемости, идут от лучше проверяемых, в большей степени фальсифицируемых, высказываний к высказываниям, которые не столь хорошо проверяемы. (Следовательно, они в точности соответствуют стрелкам, отражающим отношение выводимости. — См. разд. 35.)

Из рисунка хорошо видно, что можно выделить различные последовательности подклассов, например последовательности I—II—IV или I—III—V, и что такие последовательности можно еще «уплотнить», вводя новые промежуточные классы. Все такие последовательности начинаются в данном конкретном случае с 1 и заканчиваются пустым классом, поскольку он включает-

155

ся в любой класс. (Пустой класс не может быть изображен на нашем рисунке слева просто потому, что он является подклассом любого класса и поэтому должен присутствовать, так сказать, везде.) Если мы решим отождествить класс 1 с классом всех возможных базисных высказываний, то 1 станет противоречием (с), а 0 (соответствующий пустому классу) будет тогда обозначать тавтологию (t). Возможны различные пути, ведущие от 1 к пустому классу, или от (с) к {t). Некоторые из них, как можно видеть на правой части рисунка, могут пересекаться друг с другом. Следовательно, мы можем сказать, что структура таких отношений представляет собой решеточную структуру («ре-щетку последовательностей, упорядоченных стрелкой, или отношением включения). Имеются узловые точки (например, высказывания 4 и 5), в которых решетка частично связана. Отношение полностью связано только в универсальном классе 'и в пустом классе, соответствующем противоречию (с) и тавтологии (<). f Возможно ли расположить степени фальсифицируемости различных высказываний на одной шкале, то есть сопоставить различным высказываниям числа, которые упорядочивали бы их по степени их фальсифицируемости? Конечно, мы не имеем возможности упорядочить таким образом все высказывания*⁴, так как если бы мы сделали это, то нам следовало бы произвольно превратить несравнимые высказывания в сравнимые. Однако ничто не мешает нам выбрать одну из последовательностей, принадлежащих данной решетке, и указать порядок этих высказываний при помощи чисел. При этом мы должны действовать таким образом, что-

•⁴ Я все еще убежден, что попытка сделать все высказывания сравнимыми при помощи введения метрики должна содержать произвольный, внелогический элемент. Это совершенно очевидно для случая высказывания типа: «Рост всех взрослых людей больше двух футов» («ли «Рост всех взрослых людей меньше девяти футов»), то есть высказывания с предикатами, выражающими измеримое свойство. Можно показать, что метрик* содержания, или фальсифицируемости, - обязательно будет функцией метрики предиката, а последняя всегда должна содержать произвольный и, уж во всяком случае, внелогический элемент. Конечно, можно конструировать искусственные языки с заданной метрикой. Однако получающаяся при «том мера не будет чисто логической, сколь бы «очевидной» она нам ни казалась, пока допускаются только дискретные, качественные «да — нет» предикаты (в противоположность количественным, измеримым предикатам). (См. также [70, прил. *1Х, вторую и третью заметки].)

156

бы высказывание, которое расположено ближе к противоречию (с), всегда получало большее число, чем высказывание, расположенное ближе к тавтологии (0. Поскольку мы уже приписали числа 0 и 1 соответственно тавтологии и противоречию, то нам следует приписывать эмпирическим высказываниям выбранной последовательности правильные дроби.

Конечно, я не собираюсь реально выделять и исследовать какую-либо такую последовательность. Да и приписывание чисел высказываниям, принадлежащим такой последовательности, будет совершенно произвольным. Тем не менее сам факт возможности приписывания дробных чисел эмпирическим высказываниям представляет огромный интерес, особенно потому, что он проливает свет на связь между степенью фальсифицируемости и понятием вероятности. Всякий раз, когда мы можем сравнить степени фальсифицируемости двух высказываний, мы можем сказать, что высказывание, являющееся менее фальсифицируемым, одновременно является на основании своей логической формы более вероятным. Такую вероятность я называю*⁵ «логической вероятностью». Ее не следует путать с численной вероятностью, которая применяется в теории азартных игр и статистике. Логическая вероятность высказывания является дополнением его степени фальсифицируемости, она увеличивается с уменьшением степени фальсифицируемости. Логическая вероятность 1 соответствует степени фальсифицируемости 0, и наоборот. Лучше проверяемое высказывание, то есть высказыва-

** Ныне (с 1938 г., см. [70, прил. *!!]) я использую термин «абсолютная логическая вероятность», а не термин «логическая вероятность», для того чтобы отличить ее от «относительной логической вероятности» (или «условной логической вероятности»), см. также {70, прил. 'IV, 'VII—*1Х].

* Этому понятию логической вероятности (обратному понятию проверяемости) соответствует введенное Больцано понятие общезначимости, в особенности когда он применяет это понятие к сравнению высказываний. Так, Больцано описывает большие посылки в отношении выводимости как высказывания меньшей общезначимости, а следствия—как высказывания большей общезначимости [4, т. II, ^ 157, М I]. Отношение этого понятия общезначимости к понятию вероятности объясняется Больцано в [4, т. II, § 147], ср. также работу Кейнса [44, с, 224]. Приведенные Кейнсом примеры показывают, что мое сравнение логических вероятностей совпадает с кейнсовским «сравнением вероятности, которую мы a priori приписываем обобщениям» (см. также прим. 11 к этой главе и '20 к гл. X).

157

ние с большей степенью проверяемости, является логически менее вероятным а высказывание проверяемое в меньшей степени является логически более вероятным высказыванием

Как показывается в (70 разд 72] численная вероятность может быть связана с логический вероятностью и следовательно со степенью фальсифицируемости. Вполне возможно проинтерпретировать численную вероятность как применимую к некоторой подпоследовательности (выбранной из отношения логической вероятности), для которой на основании оценок частоты можно определить систему измерения.

Высказанные соображения о сравнении степеней фальсифицируемости относятся не только к универсальным высказываниям или системам теорий Их можно обобщить таким образом чтобы они применялись и к сингулярным высказываниям Поэтому наши соображения верны например для теорий в конъюнкции с начальными условиями. В этом случае класс потенциальных фальсификаторов не следует путать с классом событий то есть с классом однотипных базисных высказываний, поскольку класс потенциальных фальсификаторов представляет собой класс явлений (Это замечание имеет некоторое отношение к связи между логической и численной вероятностью которая анализируется в [70, разд. 72] ).

35 Эмпирическое содержание отношение следования и степени фальсифицируемости

В разд. 31 говорилось что то что я называю эмпирическим содержанием высказывания возрастает вместе со степенью его фальсифицируемости чем больше высказывание запрещает тем больше оно говорит о мире опыта (ср. также с разд. 6) То что я называю «эмпирическим содержанием» тесно связано с понятием «содержание» как оно определяется, например, Карнапом (11 с 458] однако не тождественно ему. Для карнаповского понятия «содержание» я использую термин «логическое содержание» чтобы отличить его от понятия «эмпирическое содержание».

Я определяю эмпирическое содержание высказывания р как класс его потенциальных фальсификаторов (см разд. 31) . Логическое содержание определяется

158

при помощи понятия выводимости как класс всех не тавтологических высказываний, выводимых из рассматриваемого высказывания (такой класс можно назвать его «классом следствий») В соответствии с этим логическое содержание р по крайней мере равно (то есть больше или равно) логическому содержанию высказывания q если q выводимо из р (или символически *р—>q»*⁷} Если имеет место взаимная выводимость (символически «p-*-*-q»), то о р н q можно сказать, что они имеют равное содержание⁸ Если q выводимо из р, а р невыводимо из q то класс следствий q должен быть собственным подмножеством класса следствий р в этом случае р обладает большим классом следствий и следовательно большим логическим содержанием (или логической силой)*⁹

Следствием моего определения эмпирического содержания является то что сравнение логического и эмпирического содержаний двух высказываний р и q приводит к одному и тому же результату если рассматриваемые высказывания не содержат метафизических элементов Поэтому мы выдвинем следующие требования (а) два высказывания имеющие равное логическое содержание должны иметь и равное эмпирическое содержание (b) высказывание р логическое содержание которого больше чем логическое содержание высказывания q должно иметь также большее или по крайней мере равное эмпирическое содержание, (с) если эмпирическое содержание высказывания р больше, чем эмпирическое содержание высказывания q то логическое содержание р также должно быть больше или логическое содержание этих высказываний несравнимо Огра-

*⁷ <р—>-<у» согласно приведенной трактовке означает что условное высказывание с антецедентом р и консеквентом q тавтологии но или логически истинно (Когда я писал текст этой книги я еще не вполне осознавал это обстоятельство не понимал я и важности того факта что утверждение о выводимости является метаязыковым утверждением см также прим *19 к гл. III) Таким образом «/»—>q» в данном контексте необходимо читать как «из р следует q»

* Карнап говорит «Металогический термин «равен по содержанию» определяется как «взаимно выводимый»» [11 с 458] Книги Карнапа [14 и 15] были опубликованы слишком поздно для того чтобы я имел возможность рассмотреть их здесь

** Если логическое содержание р превосходит логическое содержание q то мы также говорим что р логически сильнее q или что его логическая сила превосходит логическую силу q

159

ничение в пункте (b) «или по крайнем мере равное эмпирическое содержание» следует добавить потому, что р может быть, к примеру, конъюнкцией q с некоторым чисто экзистенциальным высказыванием или с каким либо другим метафизическим высказыванием которому мы можем приписать определенное логическое содержание В этом случае эмпирическое содержание р не будет превышать эмпирическое содержание q Аналогичные соображения обусловливают необходимость до авить к пункту (с) ограничение «или логические со держания этих высказываний несравнимы» (см [70, прил. *VII])

Таким образом, сравнивая степени проверяемости или эмпирическое содержание высказываний, мы будем — в случае чисто эмпирических высказываний —

что и при сравнении логического содержания высказываний, то есть отношений выводимости Следовательно, сравнение степеней фальсифицируемости можно проводить в значительной степени на основе отношений выводимости. Оба типа отношений образуют форму решеток, полностью связанных в узлах, представляющих противоречие и тавтологию (см разд. 34), что можно также выразить, сказав, что из противоречия следует любое высказывание, а тавтология следует из любого высказывания Необходимо также отметить, что эмпирические высказывания, как мы это установили, можно охарактеризовать как высказывания, степень фальсифицируемости которых находится в открытом интервале, ограниченном степенями фальсифицируемости противоречий, с одной стороны, и тавтологий—с другой Аналогичным образом синтетические высказывания в целом (включая неэмпирические синтетические высказывания) размещаются в соответствии с отношением следования внутри открытого интервала между противоречием и тавтологией

Таким образом позитивистскому тезису о том что все неэмпирические (метафизические) высказывания являются «бессмысленными», будет соответствовать тезис, согласно которому проведенное мною различение эмпирических и синтетических высказываний или эмпирического и логического содержания излишне, так как все синтетические высказывания должны быть эмпирическими — единственными настоящими высказы-

160

ваниями, а не псевдовысказываниями Однако мне кажется, что такого рода рассуждение хотя и представляется возможным, тем не менее имеет больше шансов запутать вопрос чем прояснить его

Итак, я считаю сравнение эмпирического содержания двух высказываний эквивалентом сравнения их степеней фальсифицируемости При этом наше методологическое правило согласно которому предпочтение следует отдавать тем теориям, которые можно наиболее строго проверить (см антиконвенционалистские правила, сформулированные в разд. 20), становится эквивалентным правилу предпочтения теорий с наибольшим возможным эмпирическим содержанием

36 Уровни универсальности и степени точности.

Имеется ряд методологических требований, которые можно свести к требованию наибольшего возможного эмпирического содержания высказываний Два из них еще не обсуждались Это требование наивысшего достижимого уровня ^в (степени) универсальности и требование наивысшей достижимой степени точности

Имея это в виду, рассмотрим еле дующие возможные эмпирические законы

р Все небесные тела, обращающиеся по замкнутым орбитам, движутся по окружности, короче говоря все орбиты небесных тел имеют форму окружности

q Все орбиты, планет имеют форму окружности г Все орбиты небесных тел имеют форму эллипса s Все орбиты планет имеют форму эллипса

Отношения выводимости между этими четырьмя высказываниями изображены стрелками на помещенной справа от них схеме Из р следуют все остальные вы оказывания из q следует s которое следует и из r a s следует из всех остальных высказываний

При движении от р к q степень универсальности уменьшается q сообщает меньше, чем р, потому что орбиты планет образуют собственный подкласс орбит

161

небесных тел Следовательно, р легче фальсифицировать чем q если фальсифицировано q, то фальсифицировано и р, но не наоборот При движении от р к т степень точности (предиката) уменьшается окружности образуют собственный подкласс эллипсов, и если фальсифицировано г то фальсифицировано и р но не наоборот Аналогичные соображения применимы и ко всем другим переходам При движении от р к s уменьшают я и степень универсальности, и степень точности, при переходе от q к s уменьшается точность, а от г к s— универсальность Большей степени универсальности или точности соответствует большее (логическое или) эмпирическое содержание и следовательно большая степень пpoверяемости

И универсальные и сингулярные высказывания можно записать в форме «универсального условного высказывания» (или «общей импликации» как его часто называют) Если мы преобразуем наши четыре закона в такую форму, то пожалуй сможем легче и точнее рассмотреть вопрос о том как можно сравнить степени универсальности и степени точности двух высказываний.

Универсальное условное высказывание (ср. прим 14 к гл. III) может быть записано в форме « (х) (<рх—^х) » в словесной формулировке «Все значения х, выполняющие функцию высказывания <рх, выполняют и функцию высказывания /х» Ранее приведенное высказывание s может быть записано так «(х) (х есть орбита планеты>х есть эллипс)» Это высказывание означает «Каков бы ни был х если х есть орбита планеты, то х есть эллипс» Пусть р и q будут высказываниями, записанными в такой «нормальной форме». Тогда можно сказать, что р представляет собой высказывание боль шей универсальности, чем q. если функция высказывания р в антецеденте, которую можно обозначить через <р„х тавтологически следует (или логически выводима) из соответствующей функции высказывания q (которую можно обозначить через <р<х), но не эквивалентна последней. другими словами если «(х) (<р<х—иррХ)» является тавтологией (или логической истиной) Аналогичным образом мы будем говорить, что р имеет большую точность чем q, если «(х) (^—^<*)» является тавтологией, то есть если предикат р (или функция выказывания в консеквенте) имеет меньший объем, чем

предикат q, а это означает, что из предиката высказывания р следует предикат высказывания q*¹⁰

Сформулированное определение может быть расширено на функции высказываний с более чем одной переменной. Элементарные логические преобразования позволяют перейти от этого определения к отношениям выводимости, которые мы приняли и которые можно выразить при помощи следующего правила" если два высказывания сравнимы по их универсальности и по их точности то менее универсальное или менее точное вы оказывание выводимо из более универсального или более точного высказывания если конечно, не имеет места случай, когда одно из них более универсальное а другое более точное (как это действительно произошло с высказываниями q и г на нашей схеме)¹²

Теперь мы можем сказать, что наше методологическое решение (иногда метафизически интерпретируемое как принцип причинности) состоит в том, чтобы ничего не оставлять необъясненным, то есть всегда пытаться выводить рассматриваемые высказывания из других высказываний большей степени универсальности Это решение продиктовано требованием наивысшей достижимой степени универсальности и точности и может быть сведено к требованию или правилу, согласно которому предпочтение следует отдавать тем теориям которые могут быть наиболее строго проверены

*'° В дальнейшем мы увидим что в данном разделе (в отличие от разд. 18 и 35) стрелка используется для выражения условного вы

прим •19 к гл. III)

" Мы можем записать [ (<р,х—»-<р„*) (f^c—^f,x}}—^[(if,x—^

—^/^)—^(<Р^—^/^)1 "ли короче [(<р,—-<р,) (^——/Л]——

—*•{?—*-ч) * Элементарный характер этой формулы о котором говорится в тексте становится очевидным если мы запишем «[(о—-b) (с—>d)]—>[(b—-с)—>-(а—-rf)]» и в соответствии с текстом заменим «b—>-с» на <р» и «а—*-d» на «<7» и т д

" То что я называю большей универсальностью высказывания грубо говоря соответствует тому что в классической логике может быть названо большим «объемом субъекта» а то что я называю большей точностью соответствует меньшему объему или «ограничению предиката» Правило для отношения выводимости которое мы только что обсуждали может рассматриваться как уточнение и сочетание классического «dictum de omni et nullo» с принципом «nota notae» — «фундаментального принципа опосредованной предикации» (см [4 т Ч § 263 № 1 и 4] и [49, § 34 разд. 5 я 7])

163

37 Логические пространства возможностей Замечания по поводу теории измерения

Если высказывание р легче фальсифицировать чем высказывание q в силу его более высокого уровня универсальности или точности, то класс допускаемых р базисных высказываний является собственным подклассом класса базисных высказываний допускаемых q Отношение включения между классами допускаемых высказываний противоположно отношению включения между классами запрещаемых высказываний (потенциальных фальсификаторов) Об этих отношениях можно сказать, что они являются обратными (или дополнительными) Класс базисных высказываний, допускаемых некоторым высказыванием, можно назвать "пространством возможностей» (range) этого высказывания¹³ «Пространство возможностей» которое некоторое высказывание оставляет реальности, является, так сказать, количеством «простора» (или степенью свободы) которое оно предоставляет реальности Пространство возможностей и эмпирическое содержание (см разд. 35) являются обратными (или дополнительными) понятиями Соответственно пространства возможностей двух высказываний относятся к друг другу точно так же как их логические вероятности (см разд. 34)

Я ввел понятие пространства возможностей потому что оно помогает нам рассмотреть некоторые вопросы связанные со степенью точности при измерении Предположим что следствия двух теорий столь мало различаются во всех областях их применения что эти очень малые различия между рассчитанными наблюдаемыми событиями не могут быть обнаружены именно потому, что степень точности, достижимая при наших измерениях, недостаточно велика В этом случае невозможно сделать выбор между двумя теориями на основании эксперимента, если сначала не улучшить нашу

'» Понятие пространства возможностей (Spielraum) введено

• 1886 году фон Кризом [48] сходные идея имеются у Больцано (4] Вайсмаин {89 е 228] попытался соединить теорию пространства возможностей с частотной теорией (см [70 разд., 721) * Кейнс перевел Spielraum термином «область» (field) [44 с. 88] я же перевожу этот термин как «пространство возможностей («range») Кейнс также использует [44 с 224] термин «сфера» («scope») что на мой взгляд, означает в точности то же самое

164

технику измерения*'⁴ Это показывает, что господствующая техника измерения определяет некоторое пространство возможностей то есть область внутри которой теорией допускаются расхождения между наблюдениями

Таким образом из правила, согласно которому теории должны иметь наивысшую достижимую степень проверяемости (и поэтому должны допускать только наименьшее пространство возможностей), вытекает требование о том что степень точности при измерении должна быть высокой, насколько это возможно

Часто говорят, что любое измерение состоит в определении совпадения точек Однако любое такое определение может быть корректным только внутри некоторых границ В строгом смысле не существует совпадения точек*¹⁵ Две физические «точки», скажем штрих на линейке и штрих на измеряемом теле, в лучшем случае могут быть достаточно точно совмещены, но они не могут совпасть то есть срастись в одну точку Сколь бы банальным это замечание ни казалось в любом другом контексте оно важно для рассмотрения вопроса о точности при измерении так как напоминает нам о том что измерение следует описывать следующим образом Мы обнаруживаем что данная точка измеряемого тела лежит между двумя делениями или отметками на линейке или, скажем что стрелка нашего измерительного прибора находится между двумя делениями шкалы Тогда можно либо рассматривать эта деления и отметки как две оптимальные границы ошибки, либо продолжать дальше оценку положения скажем стрелки внутри интервала между этими делениями и таким образом получить более точный результат Второй случай можно описать, сказав, что мы считаем стрелку расположенной между двумя воображаемыми делениями на шкале Таким образом некоторый интервал или некоторое пространство возможностей остается всегда Для физиков стало обычаем оценивать этот интервал для каждого измерения (Так, следуя Милликену, они определяют, например, элементарный заряд электрона

*'⁴ Это положение как мне кажется было ложно интерпретировано Дюгемом (см [23 с 137])

*¹⁵ Заметим что я говорю здесь об измерении а не о счете (Различие между двумя этими процессами тесно связано с различием между действительными и рациональными числами)

165

измеряемый в электростатических единицах, как е'*4,774-10~¹⁰, добавляя, что область неточности равна ± 0,005-Ю-¹⁰.) Однако при этом возникает проблема. Какова же цель нашей замены одной отметки на шкале двумя, а именно двумя границами интервала, когда для каждой из этих границ снова возникает тот же вопрос каковы же пределы точности для границ данного интервала?

Использование границ интервала, конечно, бесполезно, если такие границы в свою очередь не могут быть

зафиксированы со степенью точности, значительно превосходящей ту степень, которую мы можем надеяться достигнуть при исходном измерения. Иначе говоря, границы должны быть зафиксированы с такими собственными интервалами неточности, которые были бы на несколько порядков меньше, чем интервалы, которые определяют результаты исходного измерения. Это возможно, если границы интервала не являются жесткими границами, а в действительности представляют собой очень малые интервалы, границами которых являются еще значительно меньшие интервалы, и т. д. Следуя по этому пути, мы приходим к идее о том, что можно было бы назвать «нежесткими границами» или «сжимающимися границами» таких интервалов.

Высказанные соображения не предполагают ни математической теории ошибок, ни теории вероятностей. Они выражают другой подход к проблеме. На основе анализа понятия измерения интервала они закладывают основание, без которого статистическая теория ошибок имеет очень мало смысла. Если мы много раз измеряем некоторую величину, то мы получаем оценки, которые с разными плотностями распределены по некоторому интервалу точности, зависящему от имеющейся измерительной техники. Только тогда, когда мы знаем, что мы ищем, а именно сжимающиеся границы интервала, мы

определять границы интервала*'*.

Все сказанное, как мне представляется, проливает некоторый свет на превосходство методов, использующих измерения, над чисто качественными методами.

*'* Эти соображения тесно связаны и подкрепляются некоторыми результатами, которые обсуждаются в [70. прил. *IX, третья заметка, л 8 н далее].

166

Верно, что даже в случае качественных оценок, например оценки высоты музыкального звука, иногда можно указать интервал точности таких оценок. Однако если измерения не проводятся, то такой интервал может быть только очень расплывчатым, поскольку в таких случаях понятие сжимающейся границы не может быть применено. Это понятие применимо только там, где мы говорим о порядках величины, а следовательно, там, где определяются методы .измерения. Я использую понятие сжимающихся границ интервалов точности для обсуждения проблемы теории вероятностей (см. [70],разд. 68]).

38. Степени проверяемости, сравниваемые посредством размерностей

До сих пор мы рассматривали сравнение теорий по степени их проверяемости только в той мере, в какой они могут сравниваться с помощью отношения включения классов. В некоторых случаях этот метод вполне успешно помогает нам сделать выбор между теориями. Так, мы можем теперь сказать, что введенный Паули принцип исключения, упомянутый в качестве примера в разд. 20, действительно оказывается в высокой степени удовлетворительным в качестве дополнительной гипотезы именно потому, что он резко увеличивает степень точности и вместе с ней степень проверяемости старой квантовой теории (аналогично соответствующему утверждению новой квантовой теории, согласно которому антисимметричные состояния реализуются электронами, а симметричные состояния—незаряженными или многократно заряженными частицами).

Вместе с тем для многих целей сравнение теорий посредством отношения включения классов недостаточно. Так, Франк, например, указал, что высказывания высокого уровня универсальности типа принципа сохранения энергии в формулировке Планка легко могут стать тавтологиями я потерять свое эмпирическое содержание, если начальные условия не могут быть определены «с помощью немногих измерений... то есть с помощью малого числа величин, характеризующих состояние системы» [26, с. 24]. Вопрос о числе параметров, которые должны быть установлены и подставлены в соответствующие формулы, не может быть прояснен с помощью

167

отношения включения классов, несмотря на то, что этот вопрос тесно связан с проблемой проверяемости и фальсифицируемости и их степеней. Чем меньше необходимо величин для определения начальных условий, тем менее неэлементарными (см. прим. *3 к этой главе) будут базисные высказывания, обеспечивающие фальсификацию теории, так как фальсифицирующее базисное высказывание представляет собой конъюнкцию начальных условий с отрицанием выводимого предсказания (см. разд. 28). Таким образом, можно сравнивать теории по степени их проверяемости путем установления минимальной степени неэлементарности, которую должно иметь базисное высказывание, чтобы оно могло вступить в противоречие с теорией. Конечно, все это возможно при условии, что мы можем найти способ сравнивать базисные высказывания, позволяющий установить, являются ли они более или менее неэлементарнымн, то есть соединениями большего или меньшего числа базисных высказываний более простого вида. Независимо от своего содержания все базисные высказывания, чья степень неэлементарности не достигает необходимого минимума, допускаются теорией просто по

Однако любая такая программа сталкивается с затруднениями, поскольку в общем случае на основании простого наблюдения не так легко установить, является ли некоторое высказывание неэлементарным, то есть эквивалентным конъюнкции более простых высказываний. Действительно, во все высказывания входят универсальные имена и, анализируя эти имена, часто можно разложить такие высказывания н конъюнктивные компоненты (так, высказывание «В месте k имеется стакан воды» вполне можно в ходе анализа разложить на конъюнктивные компоненты «В месте k имеется стакан, содержащий жидкость» и «В месте k имеется вода»). При этом нет никакой надежды найти какой-нибудь естественный предел рассечения высказываний при помощи этого метода, в частности потому, что мы всегда можем вводить новые универсалии, определенные специально с целью сделать возможным дальнейшее рассечение высказываний.

Для обеспечения сравнимости степеней неэлементарности всех базисных высказываний можно было бы предложить выбрать некоторый класс высказываний в

168

качестве класса элементарных или атомарных высказываний¹⁷, из которых все остальные высказывания можно было бы получить при помощи конъюнкции н других логических операций. Если бы нам это удалось, тогда мы смогли бы тем самым определить «абсолютный нуль» неэлементарности, а неэлементарность любого высказывания могла бы быть выражена, так сказать, через абсолютные степени неэлементарности*¹⁸. Однако по ранее указанной причине такую процедуру следует рассматривать как совершенно неудовлетворительную, так как она накладывает серьезные ограничения на свободное .использование научного языка*¹⁹.

И все же имеется возможность сравнивать степени неэлементарности базисных высказываний, а тем самым и всех других высказываний. Это можно сделать, произвольно выделив класс относительно атомарных высказываний, которые будут использоваться как основа-

¹⁷ «Элементарные предложения» рассматриваются в «Логико-философском трактате» Витгенштейна: «Предложение есть функция истинности элементарных предложений» [95, с 61], а «атомарные предложения» (в противоположность неэлементарным «молекулярным предложениям») — в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассела |92. т 1. с XV] Огден перевел витгенштейновский термин «Elenientarsatz», как «элементарное предложение» («elementary proposition») (см. '[95, с. 553]), тогда как Рассел в своем предисловии к [95, с. 16] переводит его как «атомарное предложение» («atomic proposition»). Последний термин получил широкое распространение

*¹* Абсолютные степени неэлементарности, конечно, определили бы абсолютные степени содержания и, следовательно, абсолютные степени невероятности. Такая программа введения понятия невероятности, а значит, и понятия вероятности посредством выделения не которого класса абсолютных атомарных высказываний (ранее намеченная Витгенштейном) в последнее время разрабатывалась Карнапом с целью построения теории индукции [17]. В предисловии к английскому изданию этой моей книги я указывал на то, что третий модельный язык (карнаповская языковая система) не позволяет вы разить измеряемые свойства (он не позволяет также — в своей современной форме — ввести пространственный и временной порядок.

*'* Словосочетание «научный язык» используется здесь в обыденном значении, и его не следует интерпретировать в техническом смысле как то, что ныне называется «языковой системой». Более того

мнить о том. что ученые не могут пользоваться «языковой системой». поскольку им постоянно приходится изменять свой язык с каждым новым шагом, который они делают Понятия «материя» и «атом» после Резерфорда, «материя» и «энергия» после Эйнштейна стали означать нечто совершенно отличное от того, что они означали ранее. Значение этих понятий есть функция постоянно изменяющейся теории.

169

ние для сравнения. Такой класс относительно атомарных высказываний можно определить при помощи порождающей схемы или матрицы (ее можно пояснить следующим примером: «В месте... существует измерительное устройство для ... указательная стрелка которого расположена между отметками шкалы... и ...»). С ее помощью относительно атомарные и, следовательно, равно неэлементарные высказывания можно определить как класс всех высказываний, получающихся из такого рода матрицы (или функции высказывания) при подстановке в нее определенных значений. Класс таких высказываний вместе со всеми конъюнкциями, которые могут быть составлены из членов этого класса, можно назвать «областью». Конъюнкцию п различных относительно атомарных высказываний некоторой области можно назвать «n-кой, принадлежащей данной области", и мы можем сказать, что степень неэлементарности этой конъюнкции равна числу п.

Если для теории t существует область сингулярных высказываний (но необязательно базисных высказываний), таких, что для некоторого числа d теория t не может быть фальсифицирована никакой d-кой из данной области, но она может быть фальсифицирована некоторыми d+1-ками, то мы назовем d характеристическим числом теории по отношению к этой области. Все высказывания данной области, чья степень неэлементарности меньше или равна а, являются в таком случае совместимыми с теорией и допускаются ею безотносительно к их содержанию.

Итак, возможно проводить сравнение степени проверяемости теорий, исходя из характеристического числа а. Однако для того чтобы избежать противоречий, могущих возникнуть при использовании различных областей, необходимо ограничиться более узким понятием, чем понятие области, а именно понятием области применения. Если дана теория t, то мы будем говорить, что некоторая область является областью применения теории t, если существует характеристическое число d теории t по отношению к этой области и если к тому же эта область удовлетворяет некоторым другим условиям, которые формулируются в [70, прил. I].

Характеристическое число d теории t по отношению к некоторой области применения я буду называть размерностью t по отношению к этой области применения.

170

Выражение «размерность» 'хорошо подходит для описания данной ситуации потому, что мы можем представить все возможные n-ки, принадлежащие определенной области, как пространственно упорядоченные (в бесконечном конфигурационном пространстве). Если, к примеру, d=3, то высказывания, являющиеся приемлемыми на том основании, что их степень неэлементарности слишком мала, образуют трехмерное подпространство данной конфигурации. Переход от d=3 к d=2 соответствует переходу от трехмерного пространства к плоскости. Чем меньше размерность d, тем более жестко ограничен класс тех допустимых высказываний, которые безотносительно к их содержанию не могут противоречить теории по причине своей малой степени неэлементарности, и тем выше будет степень фальсифицируемости данной теории.

Понятие области применения не ограничивается базисными высказываниями. Сингулярные высказывания всех других типов могут быть высказываниями, принадлежащими к области применения. Сравнивая их размерности при помощи данной области, мы можем оценить степень неэлементарности базисных высказываний. (Мы предполагаем, что сингулярным высказываниям, обладающим высокой степенью неэлементарности, соответствуют базисные высказывания, также обладающие высокой степенью неэлементарности.) Таким образом, можно предположить, что теории большей размерности соответствует класс базисных высказываний большей размерности, таких, что все высказывания, принадлежащие этому классу, допускаются теорией независимо от того, что они утверждают.

Это ответ на вопрос о том, каким образом соотносятся два метода сравнения степеней проверяемости теорий: метод, основывающийся на понятии размерности теория, и метод, основывающийся на отношении включения классов. Мы еще встретимся со случаями, когда неприменим ни один из них или применим только один из этих двух методов сравнения. В таких случаях, конечно, нет места для конфликта между этими методами. Однако если в некотором конкретном случае применимы оба метода, то вполне может случиться, что две теории одинаковой размерности могут тем не менее иметь разные степени фальсифицируемости, когда мы оцениваем их с помощью метода, основанного на отно-

171

шении включения классов. В таких случаях следует принимать результат, полученный на основе второго метода, так как он является более чувствительным методом. Во всех других случаях, в которых применимы оба метода, они должны веста к одному и тому же результату, так как можно доказать с помощью простой теоремы теории размерности, что размерность некоторого класса должна быть больше или равна размерности его подклассов (см. [52, с. 81 ])*²⁰.

39. Размерность множества кривых

В некоторых случаях мы можем достаточно просто отождествить то, что я назвал «областью применения» некоторой теории, с областью ее графического представления, то есть с пространством миллиметровой бумаги, на которой мы представляем теорию с помощью графиков. Каждая точка такой области графического представления считается соответствующей одному относительно атомарному высказыванию. При этом размерность теории по отношению к этой области (ее определение см. в [70, прил. 1]) тождественна размерности множества кривых, соответствующих теории. Я рассмотрю эти отношения при помощи двух высказываний q н s, которые были сформулированы в разд. 36. (Проводимое нами сравнение размерностей применяется к

q, согласно которой все планетарные орбиты являются окружностями, трехмерна, поскольку для ее фальсификации необходимы по крайней мере четыре принадлежащих данной области сингулярных высказывания, соответствующих четырем точкам ее графического представления. Гипотеза s, согласно которой все планетарные орбиты являются эллипсами, пятимерна, поскольку для ее фальсификации необходимы по крайней мере шесть сингулярных высказываний, соответствующих шести точкам на графике. В разд. 36 мы установили, что q легче фальсифицируема, чем s (поскольку все окружности являются эллипсами, возможно проводить сравнение этих гипотез на основе отношения включе-

**° Предполагается, что условия, при которых эта теорема верна, всегда выполняются «пространствами», с которыми мы здесь имеем дело.

172

ния классов). Использование размерностей дает нам возможность сравнить теории, которые мы прежде сравнивать не могли. Так, например, мы можем теперь сравнить гипотезу об окружностях с гипотезой о параболах (которая' является четырехмерной). Каждое из слов «окружность», «эллипс», «парабола» обозначает класс или множество кривых, и каждое из этих множеств имеет размерность d, если d точек необходимы и достаточны для того, чтобы выделить или охарактеризовать одну конкретную кривую, принадлежащую данному множеству. При алгебраическом представлении размерность множества кривых зависит от числа параметров, значения которых можно произвольно выбирать. Следовательно, можно сказать, что число свободно детерминируемых параметров множества кривых, при помощи которых представляется теория, является характеристическим для степени фальсифицируемости (или проверяемости) данной теории.

В связи с высказываниями q и s, о которых идет речь в рассмотренном примере, я хотел бы сделать несколько методологических "замечаний, касающихся открытия Кеплером его законов*²'.

Я не хочу навести вас на мысль о том, что вера в совершенство—эвристический принцип, приведший Кеплера к его открытию,—была внушена ему сознательно или бессознательно методологическими соображениями, касающимися степеней фальсифицируемости теорий. Однако я действительно считаю, что Кеплер своим успехом частично обязан тому факту, что гипотеза окружности, от которой он отталкивался в своем исследовании, была относительно легко фальсифицируема. Если бы Кеплер начал с гипотезы, не столь легко фальсифицируемой на основании ее логической формы, как гипотеза окружности, он вполне мог бы не получить никакого результата, особенно если принять во внимание трудности вычислений, само основание которых висело «в воздухе», блуждало, так сказать, по небесам и двигалось в неизвестном направлении. Недвусмысленный отрицательный ответ, который Кеплер получил при фальсификации своей гипотезы окружности, фактически был его первым реальным успехом

*¹¹ Развиваемые далее соображения были поддержаны со ссылкой на источник Нилом [45. с. 230] и Кемени f43, прим. на с. 404]

173

Используемый им метод имел в его глазах достаточное оправдание для того, чтобы двигаться дальше, в частности потому, что даже эта его первая попытка уже дала определенные результаты

Без сомнения законы Кеплера могли быть обнаружены иначе Однако, по моему мнению то, что именно этот путь привел к успеху, не было чисто случайным Путь, по которому шел Кеплер, соответствует методу устранения который применим только тогда, когда теория достаточно легко фальсифицируема то есть достаточно точна для того, чтобы быть способной прийти в столкновение с данными наблюдения

40 Два способа редукции размерности множества кривых

Совершенно различные множества кривых могут иметь одну и ту же размерность Множество всех окружностей к примеру, трехмерно, а множество всех окружностей проходящих через данную точку является двумерным множеством (подобно множеству прямых линий) Если же мы потребуем, чтобы все окружности проходили через две данные точки, то мы получим одномерное множество, и т д. Каждое дополнительное условие требующее, чтобы все кривые некоторого множества проходили еще через одну данную точку, снижает размерность данного множества на единицу

Размерность можно также редуцировать и другими методами отличными от увеличения числа данных точек Так например, множество эллипсов с данным соотношением их осей является четырехмерным (как и множество парабол), и таким же является множество эллипсов с данным численным эксцентриситетом Переход от эллипса к окружности, конечно, эквивалентен спецификации эксцентриситета (эксцентриситет в этом случае равен 0) или принятию особого соотношения осей (равного 1)

Поскольку мы заинтересованы в оценке степеней фальсифицируемости теорий, мы теперь поставим вопрос о том, эквивалентны ли для наших целей различные методы редукции размерности или нам следует более тщательно исследовать их относительные достоинства Действительно, допущение о том что кривая должна проходить через определенную сингулярную

174

нульмерные классы**	одномерные классы	двумерные классы	трехмерные классы	четырехмерные классы
–	–	прямая линия	окружность	парабола
–	прямая ли кия через одну данную точку	окружность через одну данную точку	парабола через од ну данную точку	коническое сечение через од ну данную точку
прямая линия через две данные точки	окружность через две данные точки	парабола через две данные точки	коническое сечение через две данные точки
окружность через три данные точки	парабола через три данные точки	коническое сечение через три данные точки	—	—

точку (или некоторую очень маленькую область) часто будет связываться или ставиться в соответствие с принятием некоторого сингулярного высказывания то есть начального условия Вместе с тем переход скажем от гипотезы эллипса к гипотезе окружности очевидно будет соответствовать редукции размерности самой теории Как же можно разграничить эти два метода редукции размерности' Мы можем назвать «материальной редукцией» метод редукции размерности который не имеет дела с допущениями касающимися «формы» или «вида» кривой то есть к примеру редукции при помощи точного определения одной или более точек или при помощи какой либо эквивалентной спецификации Другой метод при котором форма или вид кривой становятся более точно определенными как например когда мы переходим от эллипса к окружности или от окружности к прямой линии и т д. я назову методом «формальной редукции» размерности

** Мы могли бы конечно начать с пустого минус одномерного класса

175

Однако это различение нелегко сделать достаточно точным. В этом можно убедиться следующим образом. Редукция размерности на языке алгебры означает замену некоторого параметра константой. Однако не очень ясно, каким образом мы можем различить разные методы замены параметра константой. Формальная редукция, заключающаяся в переходе от общего уравнения эллипса к уравнению окружности, может быть описана как приравнивание одного параметра к 0, а второго—к 1. Однако если второй параметр (абсолютный термин) приравнивается к 0, то это означало бы материальную редукцию, а именно спецификацию некоторой точки эллипса. Тем не менее я считаю, что это различение можно сделать ясным, если мы установим его связь с проблемой универсальных имен. Дело в том, что материальная редукция вводит индивидуальное имя, а формальная—универсальное имя в определение соответствующего множества кривых.

Давайте представим, что нам дана некоторая конкретная плоскость, возможно, при помощи «остенсивного определения». Множество всех эллипсов на этой плоскости можно определить при помощи общего уравнения эллипса, множество окружностей—при помощи общего уравнения окружности. Эти определения не зависят от того, в каком месте на плоскости мы проводим (декартовы) координаты, к которым относятся эти определения. Следовательно, они не зависят от выбора начала и ориентации координат. Конкретная система координат может быть определена только при помощи индивидуальных 'имен, скажем при помощи остенсивного определения начала и ориентации координат. Поскольку же определение множества эллипсов (или окружностей) одинаково для всех декартовых координат, оно независимо от спецификации этих индивидуальных имен, то есть инвариантно по отношению ко всем преобразованиям координат в евклидовой группе (преобразованиям переносов и подобия).

Если же возникает необходимость определить множество эллипсов (или окружностей), которые имеют общую конкретную, индивидуальную точку на плоскости, то мы должны обратиться к уравнению, которое не является инвариантным по отношению к преобразованиям в евклидовой группе, а относится к сингулярной, то есть индивидуально или остенсивно определенно

ной, системе координат. Следовательно, такая редукция

Можно построить некоторую иерархию подобных преобразований. Определение, инвариантное по отношению к более общей группе преобразований, является также инвариантным и по отношению к более частным группам. Для каждого определения множества кривых существует одна наиболее общая группа преобразований, которая является характерной для этого множества. Теперь мы можем сказать: определение D₁ множества кривых называется «равным по общности» (или более общим по отношению к) определению D₂ множества кривых, если оно инвариантно по отношению к той же самой группе преобразований, что и D₂ (или по отношению к более общей группе). Редукцию размерности множества кривых теперь можно назвать формальной, если она не уменьшает общности определения; в противном случае она является материальной.

Если мы сравним степени фальсифицируемости двух теорий при помощи рассмотрения их размерности, то нам наряду с размерностью, без сомнения, придется принимать в расчет и их общность, то есть их инвариантность по отношению к преобразованиям координат.

Такая процедура, конечно, должна считаться с тем. содержит ли фактически рассматриваемая теория геометрические высказывания о мире, как это имеет место. например, в теории Кеплера, или она «геометрична» только в том смысле, что ее можно представить при помощи графика, подобного тому, посредством которого выражается зависимость давления от температуры. Конечно, было бы неправильным требовать от теорий второго типа или от соответствующих множеств кривых, чтобы их определения были инвариантными . по отношению, скажем, к вращениям системы координат, так как в таких случаях различные координаты могут представлять совершенно различные вещи (одна координатная ось, например,—давление, другая—температуру и т. п.).

На этом мы заканчиваем рассмотрение методов, при помощи которых следует сравнивать степени фальсифи-

²³ Об отношениях между группами преобразований и «индивидуализацией» см. [90, с. 73), где делается ссылка на эрлангенскую программу Клейна.

177

цируемости теорий. Я считаю, что эти методы могут помочь нам прояснить такие эпистемологические вопросы как например, проблема простоты, которой мы займемся в следующей главе. Имеются также и другие проблемы, которые наше исследование степеней фальсифицируемости, как это мы увидим далее, освещает по-новому. В особенности это относится к проблеме так называемой <вероятности гипотез» или проблеме подкрепления

Добавление 1972 года

Одним из наиболее важных понятий в этой книге является понятие (эмпирического или информационного) содержания теории. («Не зря же мы называем законы природы «законами»- чем больше они запрещают, тем больше они говорят»-см с 64 настоящего издания)

В гл. VI я сделал акцент на двух положениях. (1) Содержание или проверяемость (или простота—ем. гл. VII) теории могут иметь степени, которые позволяют нам говорить о релятивизации понятия фальсифицируемости (логическим основанием которого по-прежнему остается modus tollens). (2) Цель науки - рост знания - можно отождествить с ростом содержания наших теорий (см. также мою статью (68]).

В последнее время я развил далее эти идеи (см., в частности. [71, гл. 10]). К новым положениям относятся два следующих: (3) Проведена дальнейшая релятивизация понятий содержания и проверяемости по отношению к рассматриваемой проблеме или множеству рассматриваемых проблем (Уже в 1934 году я релятивизовал эти понятия по отношению к области применения -см. [58 и 70. прил. I].) (4) Введены понятия истинного содержания теории и аппроксимации, или приближения. теории к истине («правдоподобности»)