Раздел 3. Интегральное исчисление
Вопросы для подготовки к коллоквиуму
Определение первообразной функции, ее геометрический смысл. Теорема о первообразных. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Внесение под знак интеграла, замена переменной (подстановка), интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных дробей I, II, III, IV видов. Разложение рациональных дробей на простейшие. Теоремы о корнях знаменателя.
Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений.
Определение интегральной суммы, ее геометрический смысл.
Определение определенного интеграла, геометрический смысл, экономическая интерпретация.
Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел вращения.
Применение интегралов в экономике (вычисление объемов продукции в зависимости от производительности труда, вычисление затрат на хранение запасов сырья на складе предприятия, потребительская рента, определение функции издержек по данной функции предельных издержек, дисконтированная стоимость денежного потока, определение периода окупаемости инвестиций, степень неравенства в распределении доходов).
Приближенное вычисление определенного интеграла (метод прямоугольников, трапеций).
Несобственные интегралы I рода, геометрический смысл. Несобственные интегралы II рода.
Задания для аудиторной самостоятельной работы
1. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
2. Вычислить определенный интеграл:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и объемы тел, образованных при вращении вокруг оси OX плоской фигуры.
1)
,
y=-1,
y=2
2)
,
,
x=2, x=0,
y=0
4. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Индивидуальное домашнее задание
Задание № 1. Вычислить неопределенные интегралы. Выполнить проверку решения.
№ |
Задание |
1 |
1.
4.
|
2 |
1.
4.
|
3 |
1.
4.
|
4 |
1.
4.
|
5 |
1.
4.
|
6 |
1.
4.
|
7 |
1.
4.
|
8 |
1.
4.
|
9 |
1.
|
10 |
1.
4.
|
11 |
1.
4.
|
12 |
1.
4.
|
13 |
1.
|
14 |
1.
4.
|
15 |
1.
4.
|
16 |
1.
|
17 |
1.
4.
|
18 |
1.
4.
|
19 |
1.
|
20 |
1.
4.
|
21 |
1.
4.
|
22 |
1.
4.
|
23 |
1.
|
24 |
1.
4.
|
25 |
1.
4.
|
26 |
1.
|
27 |
1.
4.
|
28 |
1.
4.
|
29 |
1.
4.
|
30 |
1.
4.
|
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
;
2.
;
3.
;
;
5.
.
Задание № 2. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
Варианты:
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23 |
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
Задание № 3. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
Варианты:
1 |
2 |
3
|
4
|
5
|
||||
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
||||
11
|
12 |
13
|
14
|
15
|
||||
16
|
17
|
18 |
19
|
20
|
||||
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
||||
26 |
27
|
28
|
29
|
30
|
||||
Задание № 4. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
Варианты:
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
6
|
7
|
8
|
9 |
10
|
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
|
16
|
17 |
18
|
19
|
20
|
|
21 |
22 |
23
|
24 |
25
|
|
26
|
27
|
28 |
29
|
30
|
|
Задание № 5. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
Варианты:
1
|
2
|
3
|
4
|
5 |
|||||||||||||||||||||
6 |
7 |
8 |
9 |
10
|
|
||||||||||||||||||||
11 |
12 |
13
|
14
|
15
|
|
||||||||||||||||||||
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
||||||||||||||||||||
21 |
22
|
23
|
24 |
25
|
|
||||||||||||||||||||
26
|
27
|
28 |
29
|
30
|
|
||||||||||||||||||||
Задание № 6. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
Варианты:
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9 |
10
|
11
|
12 |
13 |
14
|
15
|
16 |
17 |
18
|
19
|
20
|
21
|
22 |
23
|
24
|
25 |
26
|
27
|
28
|
29 |
30
|
Задание № 7. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Варианты:
1
|
2
|
3
|
4
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|||||||||||||||||||||||
13
|
14 |
15
|
16 |
17
|
|||||||||||||||||||||||
19 |
20 |
21 |
22 |
||||||||||||||||||||||||
25
|
26
|
27
|
28
|
||||||||||||||||||||||||
6
|
12 |
18
|
24 |
||||||||||||||||||||||||
23
|
29
|
30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
;
;
Задание 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
№ |
Уравнения линий |
№ |
Уравнения линий |
1 |
|
16 |
|
2 |
|
17 |
|
3 |
|
18 |
|
4 |
|
19 |
|
5 |
|
20 |
|
6 |
|
21 |
|
7 |
|
22 |
|
8 |
|
23 |
|
9 |
|
24 |
|
10 |
|
25 |
|
11 |
|
26 |
|
12 |
|
27 |
|
13 |
|
28 |
|
14 |
|
29 |
|
15 |
|
30 |
|
;
;
