Раздел 4. Функции нескольких переменных

Вопросы для подготовки к коллоквиуму

1. Евклидово пространство Е^m. Определение, примеры.

2. Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Суперпозиция функций.

3. Частные производные. Частный дифференциал. Полное приращение. Полный дифференциал. Приближенное вычисление значения функции нескольких переменных.

4. Вектор-градиент, производная по направлению.

5. Частные производные высших порядков.

6. Производная сложной функции, производная функции, заданной неявно.

7. Локальные экстремум функции нескольких переменных.

8. Метод наименьших квадратов.

9. Оптимальное распределение ресурсов. Максимизация прибыли производства продукции.

10. Определение интегральной суммы функции z=f(x,y). Определение двойного интеграла, геометрический смысл. Повторный интеграл.

Задания для аудиторной самостоятельной работы

1. Найти область определения функций:

1). ; 2). .

2. Найти линии уровня функции:

1). ; 2). .

3. Вычислить пределы:

1). ; 2). .

4. Найти частные приращения функций:

1). z = x y, 2) u = (x+y) z.

5. Найти частные производные функций

1). z = 2x² –xy² +3x² y-2y³ +3x-4y+1, 2). u = s³ cos4t,

3). z = ln(x²+2y³), 4). .

6. Найти полное приращение и полный дифференциал функции z = 3x²+xy-y²+1.

7. Найти полную производную функции , где у = a sinx, z = cosx.

8. Найти , если , где u = x cosy; v = y sinx.

9. Найти частные производные второго порядка функций:

1). z = x y, 2). z = e^{x y}, 3). z=3x³-xy²+x+y+y⁴; 4). z = arctgxy.

10. Исследовать на экстремум функцию:

1). ; 2). ; 3). .

11. Найти экстремум функции при условии, что .

12. Применяя метод наименьших квадратов, найти эмпирическую формулу для приближенного представления функции заданной таблицей

х	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
у	0,8	1,9	4,9	8,8	13,9

Указание. Можно пользоваться формулами линейной и квадратичной зависимости.

13. Зависимость между сроком эксплуатации автомобиля и расходами на его ремонт представлена в следующей таблице

t, лет	1	2	3	4	5	6	7	8
S, тыс. руб.	120	140	230	370	445	570	655	770

Найти линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от срока эксплуатации.

14.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х³+у³-3ху в прямоугольнике 0≤х≤2, -1≤у≤2.

15.Вычислить , где область D ограничена линиями х = 0, х = 1, у = х, у = х².

Индивидуальное домашнее задание

1. Найти область определения указанных функций.

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15

1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30

2. Найти частные производные и частные дифференциалы функций.

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18

2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30

3. Вычислить значения частных производных в точке с точностью до двух знаков после запятой.

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15

3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30

4. Найти полные дифференциалы указанных функций.

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16

4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30

5 Вычислить значение производной сложной функции , где при с точностью до двух знаков после запятой.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

6 Вычислить значения частных производных функции в точке с точностью до двух знаков после запятой.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

7 Найти экстремумы функций:

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18

7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30

8 Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов.

8.1 1,0 1,5 2,0 3,0 3,2

8,1 9,0 11,2 13,8 14,7

8.2 0,3 0,5 0,8 1,1 2,3

1,4 0,7 -0,9 -2,3 -8,8

8.3 0,5 0,8 1,2 1,3 4,0

6,3 7,0 9,0 9,3 16,8

8.4 1,2 1,7 3,3 4,1 4,3

-3,1 -5,6 -17,1 -23,1 -24,8

8.5 0,7 0,9 1,3 1,6 2,3

7,0 8,0 9,0 10,0 12,0

8.6 -3,4 -3,2 -3,1 -2,5 -1,5

-13,9 -12,9 -12,2 -9,1 -4,2

8.7 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3

11,1 12,8 13,9 14,5 5,1

8.8 0,7 0,9 1,2 1,3 1,7

1,7 1,1 0,8 0,1 -0,5

8.9 -1,1 -0,5 0,2 0,4 0,7

2,1 3,4 5,1 6,3 6,9

8.10 -1,2 -0,7 0,3 1,5 1,7

5,7 5,1 0,1 0,2 -0,7

8.11 2,1 3,0 3,2 3,9 4,1

3,4 8,1 9,2 12,6 13,3

8.12 1,7 1,9 2,3 2,5 3,5

0,1 -0,6 -2,0 -2,7 -5,3

8.13 -0,1 0,2 0,5 0,9 1,2

-7,1 -6,2 -4,3 -2,7 -0,9

8.14 -1,2 -1,1 -0,9 -0,5 0,1

8,7 8,1 7,8 6,4 4,5

8.15 3,2 3,8 4,7 5,1 5,4

10,5 12,3 14,9 16,4 16,9

8.16 2,1 2,3 3,1 3,8 4,5

-9,3 -7,2 -13,4 -16,1 -18,9

8.17 1,1 2,1 3,4 4,3 4,9

-0,8 1,2 3,8 5,4 6,7

8.18 10,1 11,5 13,6 16,2 17,5

0,9 0,8 0,6 0,3 0,2

8.19 0,1 0,3 0,5 1,2 2,1

1,0 1,1 1,2 1,4 1,6

8.20 3,2 4,1 5,3 6,7 7,3

1,6 1,4 1,1 0,9 0,7

8.21 1,1 1,3 1,7 1,9 2,2

1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

8.22 2,2 3,1 4,5 5,3 5,7

0,1 -0,4 -1,2 -1,6 -1,8

8.23 1,3 2,4 3,5 4,1 5,5

3,4 4,7 5,5 6,5 7,8

8.24 1,9 2,4 3,7 4,3 6,1

-3,4 -3,8 -4,7 -5,1 -6,4

8.25 -1,1 -0,7 -0,5 -0,1 1,2

2,4 2,7 2,9 3,4 4,9

8.26 -9,1 -7,5 -2,1 -0,6 ,0

23,7 19,4 4,8 0,7 -6,3

8.27 4,5 5,1 5,2 6,1 6,4

8,6 10,0 10,36 12,8 13,0

8.28 -3,1 -1,5 -0,7 1,2 2,1

13,6 8,0 5,2 -1,5 -4,6

8.29 1,0 3,7 5,8 6,1 7,2

2,8 6,8 10,0 10,4 12,1

8.30 5,1 5,5 5,7 6,2 8,1

-23,7 -25,4 -26,2 -28,3 -36,3