Семинарское занятие 1.3: Предел числовой последовательности. Предел функции.

1. Доказать, что для последовательности 0; .

Решение. Пусть, напрмер , .

Пусть , неравенство выполняется при .

Итак, при .

2. Вычислить пределы: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

Решение.1). = =-11.

2). =∞, так как (х-4)→0 при х→4, (2х+5)→13, тогда дробь неограниченно возрастает.

3). ≤ =0. 4). ≤ =∞.

Ответ. 1). –11; 2). ∞; 3). 0; 4). ∞.

3. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3). .

Решение. 1). = = = =0.

2). = = =2.

3). = =∞.

Ответ. 1). 0; 2).2; 3). ∞.

4. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). = = = -1/2.

2). = = = = - = -2/3.

Ответ. 1).-1/2; 2). –2/3.

5. Вычислить пределы. 1). .

Решение. 1). = = = =0.

Ответ. 1). 0.

Задания для аудиторной работы

1. Доказать, что для последовательности 1; имеет предел .

2. Доказать, что .

3. Вычислить пределы:

1) 2) 3)

4. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3). ;

4). ; 5)

5. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3)

6. Вычислить пределы. 1). ; 2) ;

3)

7. Вычислить пределы. 1). ;

2) .

Семинарское занятие 1.4. Первый и второй замечательные пределы.

1. Вычислить пределы: 1). ; 2). .

Решение. 1). = =5 =5∙1=5.

2). = = = = =2.

Ответ. 1). 5; 2). 2

2. Вычислить пределы: 1). .

Решение. 1). . Проводим замену х-1=у.

Тогда = = = = = =2/π.

1). 2/π.

2. Вычислить пределы: 1). .

Решение. 1). = = =е².

Ответ. 1) е².

2. Вычислить пределы: 1). .

Решение. 1). = = = =1.

Ответ. 1). 1.

2. Вычислить пределы: 1). .

Решение. 1). . Проведем замену у=1/х. Тогда = = =1/ .

Ответ. 1). 1/ .

2. Вычислить пределы: 1). .

Решение. 1). = = = = = .

Ответ. 1). .

2. Применяя эквивалентные бесконечно малые величины, вычислить пределы:

1). .

Решение. 1). ~3 ; sin ~ ; 1+cos4 ~8x. Тогда = =3/8.

Ответ. 1). 3/8.

Задания для аудиторной работы

1. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

2. Вычислить пределы:

1). ; 2). ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) .

3. Применяя эквивалентные бесконечно малые величины, вычислить пределы:

1). ; 2). .

Семинарское занятие 1.5. Исследование непрерывности функции и точки разрыва. Задача о непрерывном начислении процентов.

1. Исследовать на непрерывность функции: 1). ; 2). Решение. 1). Область определения функции х R кроме х=0, то есть (-∞; 0) (0, +∞). Так как функция является элементарной, то, значит, она непрерывна в области существования. Точка х=0 является точкой разрыва. Односторонние пределы =1 и =1, но у(0) не существует.

2). . Область определения этой функции х (-∞; 0) (0, +∞). Она элементарная, а значит непрерывная в области существования. Односторонние пределы неравны, потому что = -π/2, = π/2. Это означает, что при х=0 функция терпит разрыв первого рода.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва, 2). х=0 точка разрыва.

2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующей функции:

1). .

Решение. 1). . Функция является элементарной и определена при х (-∞; 0) (0, +∞), следовательно, на этих интервалах она непрерывная.

Вычислим односторонние пределы, получим =1, =0.

Значит, х=0 точка разрыва первого рода.

Ответ. 1). х=0 точка разрыва 1 рода.

3. Исследовать на непрерывность функцию

1). .

Решение. 1). . Пусть х<2, тогда f(x)= -(1/2)x² является непрерывной на данном множестве. Если х>2, то f(x)=x и так же является непрерывной на указанном множестве. Осталось исследовать точку х=2. Вычислим односторонние пределы функции f(x). Получим =-2, =2. Значит, в точке х=2 функция f(x) терпит разрыв первого рода.

Теория. Известно, что формула сложных процентов имеет вид , где Q₀ – первоначальная сумма вклада, р – процент начисления за определенный период времени (месяц, год), n- количество периодов времени хранения вклада, Q_n – сумма вклада по истечении n периодов времени.

(Этой формулой можно пользоваться в демографических расчетах, например, прирост населения, и в прогнозах экономики, например, увеличение валового национального продукта).

Пусть р=100% годовых. Составим таблицу расчета Q_n.

n	За один промежуток		Примечание
1	1	=2 Q0	Процент начисляется один раз в год
2	1/2	=(3/2)2 Q0=2,25 Q0	Процент начисляется один раз в полугодие
4	1/4	=2,44 Q0	Процент начисляется ежеквартально
12	1/12	≈2,61 Q0	Процент начисляется ежемесячно
365	1/365	≈2,714 Q0	Процент начисляется ежедневно
8720	1/8720	≈2,718 Q0	Процент начисляется ежечасно
n	1/n	при n→∞	Непрерывное начисление процента

Сколько бы ни было велико число начислений n, годовая сумма накоплений не превзойдет еQ₀, а доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более, чем .

В общем случае, если р – процент начисления за год разбит на n частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины , где r=p/100 – годовая ставка процента. Это выражение можно преобразовать к виду и при n→∞. Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Пример. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. На сколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение. Полгода составляют 182 дня. , преобразуем, получим ≈ .

Ответ. Приблизительно в 6 раз.

Задания для аудиторной работы

1. Исследовать на непрерывность функций:

1). 2). 3)

2. Найти промежутки непрерывности и классифицировать точки разрыва для следующих функций:

1) 2) 3) .. 4)

5) 6) 7)

8) 9)

3. Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке (с капитализацией накоплений) 24% годовых. Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если первоначальный вклад 360 р.