Контролирующий блок

Тема «Функции одной переменной»

Тест 1.

1. Какие из следующих зависимостей не будут функциональными?

А. Каждому числу соответствует квадрат этого числа;

В. Каждому числу, не равному нулю, соответствует квадрат этого числа;

С. Каждому числу соответствует противоположное ему число;

D. Каждому неотрицательному числу соответствует корень квадратный из этого числа;

Е. Все зависимости функциональные.

2. Найти область определения функции .

А. [1;+∞); В. (-∞; 1]; С. {1}; D. (-∞;+∞); Е. Ø.

3. Множество значений функции есть промежуток…

А. (0; +∞); В. (1; +∞); С. (-∞; 0);

D.(-∞; +∞); Е. [0; +∞).

4. С какой из прямых график функции у=f(х) не может пересекаться в нескольких точках?

А. у=а; В. у=k x; С. х=b; D. у=k x + b; Е. Таких прямых нет.

5. При каких значениях k точка А(4;-1) лежит на графике функции у = k ?

А. 4; В. –1; С. ½; D. –½; Е. Ответ отличен от указанных.

На рисунке изображен график функции у=а х + в. Укажите знаки а и в. А. а>0, в>0; В. а>0, в<0; С. а<0, в>0; D. а<0, в<0; Е. а>0, в=0.

7. Какой из следующих графиков функции может быть графиком функции у=х² - 6х+а?

А. ; В. ; С. ;

D. ; Е. .

На рисунке изображен график функции у= . Укажите знаки а и в.

А. а<0; в>0; В. а>0; в>0; С. а<0; в<0; D. а>0; в<0; Е. Знаки а и в определить нельзя.

9. Сколько точек графика квадратного трехчлена необходимо знать, чтобы определить его коэффициенты?

А. 2; В. 3; С. 4; D. 5; Е. Нельзя определить коэффициенты по точкам графика функции.

10. Какие из данных функций не являются убывающими?

А. у= -2х+1; В. у= - ; С. у = х², х<0;

D. у = 1/х, х>0; Е. у= .

11. При каких значениях k функция у=k/x будет возрастать на интервале (0;+∞)?

А. При любом k; В. k; С. k≤0;

D. k<0; Е. k>0.

12. Функция у=f (х) является убывающей. Какая из следующих функций не является убывающей?

А. у=f(х+1); В. у=3f(х); С. у=f(х)-2;

D. у=-f(х); Е. у=f(2х).

13. Какие из следующих функций четные?

А. у= , х>0; В. у=х², х>-1; С. у= ,-3≤х≤4;

D. у=( )²; Е. у=х², >1.

14. Функция у=f (х) является нечетной, причем f (2)=3, f (-1)=5. В каких еще точках можно указать значения этой функции?

А. –2; 0; В. 1; -2; С. 1; -2; 0; D. –3; -5; Е. Ни в каких.

15. Функция у=ах + в является нечетной при…

А. в<0, а<0; В. а>0, в>0 С. в=0;

D. а>0, в<0; Е. а=0.

16. Функция у=f (х) четная. Какая из следующих функций не является четной?

А. у=f(2х); В. у=|f (х)|; С. у=f(х)+1;

D. у=f (х-1); Е. у=f (|х|)

17. Какие из функций обратимы?

А. у=|х|; В. у= ; С. у=х

D. у=х², х≥0; Е. у=х², х≥-1.

18. Известно, что функция у=f (х), хε[а; в] обратима. Какая из следующих функций обязательно необратима?

А. у=f (х)+2; В. у=f (х-2); С. у=|f (х)|;

D. у=f (|х|); Е. у=f (х/2).

19. Функция обратима, если она …

А. Четная; В. Возрастающая; С. Непрерывная;

D. Нечетная; Е. Ограниченная.

20. Если функция f(x)=ln x, g(x)= , то функция f (g(x)) равна…

А. (½)ln |х-1|; В. ;

С. (½) ln (х-1) при х>1; не определена при х≤1; D. (ln х) ;

Е. Не определена при хεR.

21. Областью определения функции у=h(g(x)), где h(x)= , g(x)= , есть множество…

А. R\{2;-1}; В. R\{2}; С. R\{-1};

D. R\{-2;-1}; Е. R\{-2;-1;2}.

22. Функция у=f (х) убывающая. Сколько решений имеет уравнение f (х)=а?

А. Одно; В. Ни одного; С. Не более одного; D. Хотя бы одно; Е. Ответ отличен от приведенных.

График функции у=f (х) изображен на рисунке. Укажите все значения параметра а, при которых уравнение f (х)=а имеет точно одно решение.

А. а=-3, а=4; В. 1≤а≤2; С. -3≤а≤4; D. 1<а<2; Е. 1<а<2, а=-3, а=4.

24. Функция у= а х обладает свойством:

А. f (х у)= f (х)+ f (у); В. f (х + у)= f (х)+ f (у);

С. f (х + у)= f (х)∙f (у); D. f (х у)= f (х)∙f (у);

Е. Ответ отличен от приведенных.

25. Число π является периодом для функции…

А. у=tg(x/2+π/3); В. у=cos 2x; С. у=sin2х, хε[-100π; 100π]; D.у=sin (x/3); Е. у=1/sin πx.

Дополнительные задания по вопросам применения функций в экономическом моделировании:

26. Фиксированные издержки составляют 10 000 руб. в месяц, переменные издержки – 30 руб., выручка – 50 руб. за единицу продукции. Составить функцию прибыли.

А. Р(х) = 20х-10 000; В. Р(х) = 80х-10 000; С. Р(х) = 50х+10 000;

D. Р(х) = 30х+10 000; Е. Р(х) = 0.

27. Функция издержек производства шин имеет вид С(х)=30х+2100. Цена одной шины 60 руб. Найти точку безубыточности.

А. 0; В. 70; С. 60; D. 30; Е. 2100.

Потребитель «А» решает, каким образом распределить свой доход между покупкой грампластинок и одежды. На чертеже показаны его бюджетная линия и кривая безразличия. Укажите на данном рисунке точки, в которых «А» максимизирует свои потребности. А. а; В. в; С. с; D. d; Е. f.

29. Пусть кривая Лоренца, описывающая зависимость процента доходов от процента имеющего их населения, задана функцией у=1- (часть окружности).

Найти коэффициент Джини k= . А. π/2-1; В. ½; С. π/4; D. 0; Е. 1.

30. Производительность некоторого производства с течением времени описывается функцией (эмпирически установленная формула отражает вполне реальный процесс работы) (t) = р₀(-0,2 t²/t₀² + 1,6 t/t₀ + 3), где р₀ – размерность производительности (объем продукции в часах), t – время в часах, t₀ – размерность времени (1 час). По графику этой функции опишите процесс работы.

А. Производительность стабильная в течение всего рабочего времени;

В. Производительность монотонно убывает;

С. Производительность монотонно возрастает;

D. Производительность возрастает в первой половине рабочего дня и убывает после четырех часов работы;

Е. Производительность убывает в первой половине рабочего дня и возрастает во второй.

Тема «Предел и непрерывность функции»

Тест 2:

1. Найти общий член последовательности 0, 1/3, 2/4, 3/5, 4/6, …,

А. n/(n+2); В. (n-1)/(n+1); С. (n-1)/(2n-1);

D. (n-2)/n; Е. (n+1)/(n+3).

2. Является ли последовательность с общим членом

а) монотонной, б) ограниченной, в) сходящейся, г) бесконечно малой, д) бесконечно большой?

А. Только а); В. Только б); С. Только а), б), в);

D. а), б), в), г); Е. Только а), в), д).

Вычислить пределы последовательностей:

3. . А. 3/5; В. 0; С. 1; D. ∞; Е. 5/3.

3. . А. 0; В.1/3; С. 1; D. ∞; Е. 3.

3. . А. 2; В. 0; С. 1; D. ∞; Е. 1/2.

6. Какое из условий является достаточным для существования предела функции?

а) равенство односторонних пределов: = ;

б) существование функции в этой точке;

в) чтобы предел функции в точке равнялся значению функции f(x) в этой точке.

А. а); В. б); С. в);

D. Все Е. Ни одно.

Вычислить пределы функций:

6. А. 3; В.1/2; С. –3; D. 1; Е. 0.

6. А. –3; В. 0; С. –8; D. 2; Е. ∞.

6. А. 3; В. –3; С. 1; D. -(1/5); Е. 0.

6. А. 2; В. 0; С. 1; D. –2; Е. –1.

6. А. е²; В. 1/е; С. е; D. е³; Е. е^-2.

6. Какое из следующих утверждений является верным:

а) алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых функций – функция бесконечно малая;

б) произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

в) произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая;

г) если f (x) – бесконечно малая функция, то и 1/ f (x) - бесконечно малая функция.

А. Только а), б); В. Только а), б), в); С. Только в), г); D. Все; Е. Нет верных.

13. Даны бесконечно малые функции при х→0: sin x, tg x, x², 1-cos²x. Какие из них являются эквивалентными бесконечно малыми функциями?

А. Все; В. Нет; С. Только sin x и tg x; D. Только x² и 1-cos²x; Е. sin x и tg x; x² и 1-cos²x.

13. Допишите определение непрерывности функции: функция f (х) называется непрерывной в точке , если…

1. она определена в этой точке;

2. существует ;

3. предел равен значению функции в этой точке;

4. равны односторонние пределы, то есть = .

А. 1), 2), и 3); В. 4; С. 1), 4); D. 2), 3); Е. 3), 4).

13. Является ли непрерывной функция (х)= ?

А. Да; В. Имеет разрыв I рода; С. Имеет разрыв II рода; D. Имеет устранимый разрыв; Е. Имеет разрывы I,II рода

13. Найти точки разрыва функции

А. х= ±1 разрыв I рода; В. х=±1 разрыв II рода; С. х= -1 разрыв I рода;

D. х=1 разрыв I рода; Е. Нет точек разрыва.

13. Какие из данных функций имеют одну точку разрыва?

А. у= ; В. у= ; С. у= ;

D. у= ; Е. у=|х|.

13. Доопределить значение параметров а и в, чтобы функция была непрерывной.

А. а=2/, в=0; В. а=1, вR; С. а=в;

D. а, вØ; Е. а=2/, вR.

13. Функция у=f(х) непрерывна на промежутке [а; в]. Какая из следующих функций может быть разрывной на этом промежутке?

А. у=f³(х); В. у=f(2х); С. у=f(х)+1;

D. у=1/f²(х); Е. у=|f(х)|.

13. Какое из утверждений верно?

А. Если функция у=f (х)+g (x) непрерывна, то непрерывны и функции у=f (х) и у=g (х);

В. Если D(f)=(-∞;+∞), то функция у=f (х) непрерывна;

С. Сумма двух непрерывных функций есть функция непрерывная;

D. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная;

Е. Если функция у=f (х) непрерывна, то у= непрерывна.

13. Функция у=f (х) непрерывна на промежутке [а; в] и f (а) f (в)<0. Сколько нулей имеет она на этом промежутке?

А. 1; В. Не более двух; С. Не более одного; D. Не менее одного; Е. Ответ отличен от приведенных.

13. Дописать предложение: функция, непрерывная на отрезке [а, в], …

а) достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений больше одного раза;

б) по меньшей мере, один раз достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений;

в) не достигает своего наибольшего и наименьшего значений;

г) достигает нуля в некоторой точке этого отрезка;

д) ограничена на этом отрезке.

А. а), д); В. б), д); С. в), г);

D. г), д); Е. нет верных.

13. Какими положениями можно руководствоваться при отыскании точек разрыва функции:

а) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала;

б) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках;

в) неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, где она не определена, так и в точках, где она определена;

г) если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение.

А. Только а), б); В. Только б), в); С. Только в), г); D. Ни какими; Е. Всеми.

13. Первоначальный депозит Qo помещен в банк под p=100% годовых. Доход, который можно получить при непрерывном начислении процентов, может составить за год не более чем …

А. 100%; В. (е-1)100%; С. 2,71 Qo; D. 2 Qo; Е. Qo.

13. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Как изменится первоначальная сумма через полгода?

А. Qe^1.82; В. Q/e^1.82; С. Qе^0.5; D. Q/е^0.5; Е. Q/2.