Алгоритм нахождения решения по методу Гаусса

1) Полагая, что в расширенной матрице системы коэффициент (если это не так, то следует на первое место поставить строку с отличным от нуля коэффициентом при ), преобразуем матрицу следующим образом: первую строку оставляем без изменения, а из всех остальных строк исключаем неизвестную с помощью эквивалентных преобразований.

2) В полученной матрице, считая, что (что всегда можно получить, переставив строки), оставляем без изменений первые две строки, а из остальных строк расширенной матрицы, используя вторую строку, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную .

3) Во вновь полученной матрице, при условии оставляем без изменений первые три строки, а из всех остальных с помощью третьей строки элементарными преобразованиями исключаем неизвестную .

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к ступенчатой матрице соответствующей системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

Если матрицу размера можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу назовем трапециевидной или трапецеидальной.

Матрица – трапециевидная матрица.

Методика и порядок выполнения работы

Пример 1

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Д

ля исходной системы уравнений запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

+

+

+

˜

˜

˜

˜

˜

.

Проведенные элементарные преобразования:

1) поскольку в первой матрице элемент , то первую строку оставим без изменений;

2) вместо второй строки запишем ее сумму с первой, умноженной на (-4);

3) вместо третьей строки запишем ее сумму с первой строкой, умноженной на (-3);

4) вместо четвертой строки запишем ее сумму с первой строкой, умноженной на (-5).

Полученная новая матрица эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при (это и являлось целью преобразований 1 – 4).

Преобразуем полученную матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент ;

2) вместо третьей строки запишем сумму второй строкой и третьей, умноженной на (-2);

3) четвертую строку заменим суммой удвоенной второй строкой и умноженной на (-5) четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестное исключено из всех уравнений, кроме первого, а неизвестное – из всех уравнений кроме первого и второго:

Далее исключаем неизвестную из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как ;

2) четвертую строку заменим суммой третьей, умноженной на (-39), и четвертой.

Полученная ступенчатая матрица соответствует системе уравнений:

Из последнего уравнения этой системы получаем . Подставив это значение в третье уравнение, получим . Из второго уравнения следует, что , а из первого – . Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение , затем и т. д.).

Пример 2

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Для исходной системы уравнений запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

˜

˜

˜

˜

˜

.

Проведенные элементарные преобразования:

1) первую строку оставим без изменения;

2) вместо второй строки запишем сумму второй строкой и первой, умноженной на (-2);

3) вместо третьей строки запишем сумму третьей строкой и первой, умноженной на (-3);

4) четвертую строку заменим суммой четвертой и первой, умноженной на (-1);

5) пятую строку заменим суммой пятой строки и первой, умноженной на (-2).

В результате преобразований получили матрицу эквивалентную данной. Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки приведем к нулю коэффициенты при в четвертой и пятой строках. После деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получили матрицу ступенчатого вида, каждая из двух последних строк которой соответствует уравнению . Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел , , , и и его следует удалить из системы.

Для последней матрицы составляем соответствующую систему:

В качестве базисных (главных) переменных можно выбрать , и , соответствующие столбцам минора третьего порядка , тогда и – свободные переменные. Придавая свободным переменным произвольные значения , а , из последнего уравнения системы получим: . Подставив выражения , и во второе уравнение той же системы, получим . Теперь из первого уравнения можно получить . Окончательно решение системы представляется в виде:

Пример 3

Решить систему методом Крамера:

Решение

1) Вычислим определитель системы:

.

Так как определитель системы , то система совместна и определена. Причем решения системы можно найти по формулам Крамера.

2) Вычислим определители и :

,

.

3. Находим решения:

,

.

Таким образом, , .

Пример 4

Решить систему с помощью матричного исчисления:

Решение

1. Найдем определитель матрицы :

.

Так как определитель , то матрица – невырожденная и для нее существует обратная матрица.

2. Определим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

3. Составим присоединенную матрицу :

.

4. Вычислим обратную матрицу:

.

5. Найдем решение системы:

.

Итак, , , .