Свойство 8. (Прибавление кратной строки)
О пределитель не изменится, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на один и тот же множитель.
▲ Пусть, например, к элементам 3-го столбца определителя (2.8) прибавлены соответствующие элементы 2-го столбца, умноженные на множитель .
Тогда
,
поскольку
.
▼
Замечание.
(Добавление строки к строке, умноженной на число.)
Как было показано, добавление строки, умноженной на число, к другой строке не влияет на величину определителя.
Заметим, однако, что добавление строки к другой строке, умноженной на число, не является тем же самым и приводит к иным результатам.
Н
апример,
добавляя
к
первой строке,
умноженной
на число
,
вторую
строку,
получим
определитель
.
Это происходит в связи с тем, что
получают
путем умножения первой
строки
на
и добавления к ней второй
строки.
Первый из этих двух шагов, как было
показано, изменяет
на
,
а второй не изменяет этой величины.
Отсюда
.
Таким образом, в то время как строка, умноженная на число и добавленная к строке, не оказывает влияния на определитель,
добавление строки к строке, умноженной на число, имеет своим последствием то, что определитель оказывается умноженным на этот множитель.
Эти же действия справедливы для столбца.
Применяя вышеуказанные свойства определителей, можно упростить задачу вычисления определителей.
Преобразования, не изменяющие величину определителя, называются элементарными.
Сложение и вычитание определителей
В общем случае сумма двух определителей (или их разность) не может быть записана в виде одного определителя:
.
Эта сумма
не может быть выражена через
определители иначе, чем
;
например, она не может быть
записана как
.
2.3. Разложение определителя по элементам строки (столбца)
Рассмотрим
квадратную матрицу
любого порядка
,
где
,
и её определитель.
Для вычисления такого определителя необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.
О
пределение.
Минором
элемента
определителя
порядка называется
определитель
порядка, полученный
из исходного вычеркиванием
строки и
столбца (той
строки и того столбца, на
пересечении
стоит элемент
).
Минор элемента
обозначается
.
Здесь
первый индекс означает номер строки,
второй – номер столбца, которые вычеркиваются.
Н
апример,
минором элемента
определителя
Будет определитель .
В
определителе
3-го порядка
минором элемента
является определитель
2-го порядка
.
М
инором
элемента
определителя
является элемент
(определитель
1-го порядка).
О
пределение.
Алгебраическим дополнением
элемента
называется его минор,
взятый со знаком
.
Алгебраическое
дополнение элемента
будем обозначать
.
В соответствии с определением
. (2.11)
Для элементов, расположенных на главной диагонали, алгебраическое дополнение совпадает с минором:
.
Очевидно,
если
сумма
четная, то
алгебраическое дополнение
имеет тот же
знак,
что и
минор;
если
сумма
нечетная, то
знак изменится на
противоположный знак.
Миноры
двух соседних
элементов строки (столбца)
всегда приобретают противоположные
знаки,
т.к. при изменении
или
на одну единицу четность числа
меняется.
Распределение знаков у миноров (для получения алгебраических дополнений) можно изобразить следующим образом:
+ |
− |
+ |
− |
− |
+ |
− |
+ |
+ |
− |
+ |
− |
− |
+ |
− |
+ |
Теорема 2.1 (разложения). Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
▲ Для определителя 2-го порядка это утверждение следует из формулы (2.4).
Докажем, что оно верно и для определителя третьего порядка.
Преобразуя правую часть формулы (2.8),
обозначив
её левую часть
.
Т.к.
и
,
то
, (2.12)
г
де
– определитель
(2.8);
– алгебраические
дополнения элементов
.
▼
Формула (2.12) называется разложением определителя по элементам первой строки.
Аналогично получаются разложения соответственно по элементам двух других строк и столбцов.
П
ример
1. Найти миноры
и
алгебраические
дополнения
элементов второй строки
определителя
.
▲ В данном случае
.
В соответствии с определением минора получаем
.
По формуле (2.11) находим алгебраические дополнения
.
▼
П
ример
2. Вычислить определитель
,
разложив его по элементам
первой строки.
▲ По формуле (2.12) получаем
▼
П
ример
3. Вычислить определитель
,
разложив
его по элементам
второго столбца.
▲ По теореме 2.11 получаем
.
Далее, находим
;
;
откуда
.
▼
П
ример
4. Вычислить
определитель
,
преобразовав
его и разложив
по элементам
1-го
столбца.
▲ Производя соответствующие преобразования, находим
.
Второй определитель получен в результате следующих преобразований 1-го определителя:
первая строка умножена на (-2) и сложена со второй (св-во 8);
первая строка умножена на (-1) и сложена с третьей (св-во 8).
Далее второй определитель разложен по элементам 1-го столбца по формуле, аналогичной формуле (2.12)
(второе и третье слагаемое этой суммы в этом примере не выписаны; они равны нулю, ибо содержат нулевые множители).
Для наглядности, перечисленные выше операции, будем указывать стрелками. ▼
Теорема
2.2 (следствие
из теоремы 1).
Если все
элементы
строки (столбца)
определителя
,
кроме одного,
например
,
равны
нулю,
то
определитель
равен произведению
элемента
на его
алгебраическое дополнение:
. (2.13)
П
ример
5. Вычислить
определитель
4-го
порядка
,
разложив его по элементам 2-го столбца.
▲ Т.к.
,
то по формуле (2.13) получаем
,
откуда, снова разлагая полученный определитель 3-го порядка по элементам 2-го столбца, находим
.
▼
Теорема
2.3
(замещения).
Пусть
– определитель
3-го
порядка.
Сумма произведений
алгебраических
дополнений
элементов
какого-нибудь
столбца (строки)
на любые числа
равна
определителю
,
который получается
из
данного определителя
заменой указанного
столбца (строки)
столбцом
(строкой)
из чисел
.
▲ Рассмотрим определитель 3-го порядка и определитель , полученный из данного определителя заменой 1-го столбца столбцом из чисел :
, (2.14)
На основании теоремы разложения 2.1
.▼
Теорема 2.4 (аннулирования). Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя 3-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
▲
Пусть дан определитель
(
(2.14)).
Докажем, например, что
,
т.е. сумма произведений элементов 1-го столбца на алгебраические дополнения элементов 2-го столбца равна нулю.
По теореме
2.3 (в данном случае
)
имеем
.
Поскольку этот определитель равен нулю (как содержащий два одинаковых столбца), то . ▼