2.5. Основные методы вычисления определителей Метод эффективного понижения порядка

В соответствии с теоремой разложения вычисление определителя порядка сводится к вычислению определителей порядка.

Этот метод понижения порядка не эффективен.

Используя основные свойства определителей, вычисление всегда можно свести к вычислению одного определителя порядка, сделав в какой-либо строке (столбце) все элементы, кроме одного, равными нулю.

Покажем это на примере.

П ример. Дана матрица .

Найти .

▲ Преобразуя определитель так, чтобы все элементы 3-й строки, кроме одного, обращались в нуль.

• Для этого к элементам 1-го столбца прибавим элементы 3-го столбца, умноженные на (–4),

• а к элементам 2-го столбца прибавим элементы 3-го, умноженные на 2.

Тогда будем иметь

.

Прибавим

• к элементам 1-й строки элементы 2-й строки, умноженные на (–2),

• и к элементам 3-й строки элементы 2-й, умноженные на (–3).

Тогда

. ▼

Приведение определителя к треугольному виду

Если квадратная матрица порядка является треугольной, то её определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Приведение любого определителя к треугольному виду всегда возможно.

П ример. Вычислить определитель .

▲ Выполним следующие операции.

Пятый столбец определителя сложим с первым.

Этот же столбец, умноженный

на 3 – со вторым,

на 2 – с третьим,

на 8 – с четвертым столбцом.

В итоге получим определитель треугольного вида, который равен исходному определителю:

. ▼

Приведение определителей к треугольному виду будет использоваться в дальнейшем при решении систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод исключения (метод Гаусса)

Метод исключения основан на применении изложенных ранее свойств определителей.

Он заключается в преобразовании заданного определителя к такому виду, чтобы на главной диагонали всюду стояли единицы, а все элементы, расположенные ниже главной диагонали, были равны нулю.

Р ассмотрим этот метод на примере вычисления следующего определителя: .

Представим этот определитель в виде

,

тогда значение определителя равно произведению , т.к. значение определителя с единицами по главной диагонали и нулями ниже диагонали равно единице.

Нули в первом столбце во второй и третьей строках можно получить следующим образом.

а) элемент вынесем за знак определителя, для чего разделим все элементы первой строки на два, тогда

;

б) Умножим первую строку на числа (−5) и (−3) и прибавим соответственно ко второй и третьей строкам; тогда

.

Таким образом, получен определитель, у которого в первом столбце ниже диагонали стоят нули;

в ) «сделаем нули» во втором столбце.

Для этого вынесем за знак определителя элемент , получим

;

г) чтобы «сделать нули» во втором столбце ниже диагонали, вычтем из третьей строки вторую, умноженную на (−8.5), получаем

;

д) вынесем за знак определителя элемент ; получим

.

Замечание. При получении 1 на главной диагонали элементы матрицы (как видно в предыдущем примере) принимают дробное значение.

Как это обойти, показано в следующем примере.

П ример. Вычислить определитель .

▲ ▼

104