7.4 Точки на кривих поверхнях

Положення точок на кривій поверхні, подібно до положення точок на гранній поверхні (підрозділ 6.3), визначаються за допомогою ліній – прямих або кривих, які проходять через ці точки на заданій поверхні.

Трудність у пошуку точок на епюрі зумовлюється перш за все характером даної поверхні, її положенням щодо площин проекцій та іншими умовами.

Однак, у кожному окремому випадку лінію, за допомогою якої знаходимо шукану точку, слід вибирати так, щоб побудова її на епюрі не викликала труднощів.

Так, для лінійчастих поверхонь такою лінією, зрозуміло, повинна бути пряма, якою є будь-яка твірна поверхні, натомість для нелінійчастих поверхонь доцільно вибрати криву лінію, проекції якої легко будуються. Зокрема, для поверхонь обертання такими лініями є паралелі і меридіани, визначення яких подано у підрозділі 7.1.

Слід мати на увазі, що у випадку проекційної поверхні, тобто перпендикулярної до однієї з площин проекцій пошук проекцій точок виконується, як правило, без додаткових побудов (рис.7.18). Розглянемо побудову точок, розташованих на поверхнях деяких фігур за умови, що одна проекція точки задана.

Задача 1. Задані проекції прямого кругового циліндра, а також фронтальна проекція А₂ точки А і горизонтальна проекція В₁ точки В. Відшукати відсутні проекції А₁ і В₂ (рис.7.18).

О скільки фронтальна проекція А₂ точки А видима і лежить на видимій частині бічної поверхні циліндра, то, провівши з точки А₂ лінію проекційного зв’язку, знаходимо шукану проекцію А₁ на перетині лінії проекційного зв’язку горизонтальною проекцією циліндра – колом. Фронтальну проекцію В₂ точки В знайдемо так: оскільки горизонтальна проекція В₁ точки В видима, то точка лежить на верхній основі циліндра, тому проведемо з В₁ лінію проекційного зв’язку до перетину з проекцією верхньої основи циліндра знайдемо В₂ – фронтальну проекцію точки В.

Точку на поверхні конуса можна відшукати двома способами. Перший спосіб – розглядаючи, що точка належить поверхні конуса, а тому обов’язково лежить на одній із паралелей (на колі певного радіуса, що проходить через точку). Другий спосіб – розглядаємо, що точка, яка лежить на поверхні конуса, обов’язково лежить на одній із твірних конуса.

Залежно від закону утворення поверхні, що розглядалась у розділі 6, бажано вибрати найпростіший і найвигідніший спосіб знаходження точки на поверхні конуса у кожному конкретному випадку.

З

Рисунок 7.18 ― Точка на поверхні циліндра

адача 2. Задано точки А, В, С, що лежать на поверхні прямого кругового конуса. Точки А і С є фронтальною проекцією А₂ і С₂, а точка В, горизонтальною проекцією В₁. Знайти відсутні проекції заданих точок (рис.7.19).

Точки А і В лежать на поверхні конуса і однаково легко (майже рівноцінно за побудовою) шукаються їх відсутні проекції як першим, так і другим методом (рис. 7.19б) (стрілками показано побудову). Точку С, яка задана своєю фронтальною проекцією С₂, можна знайти тільки першим способом (рис. 7.19а) або ж побудовою третьої проекції (на рис. не показано). Для визначення видимості треба розглядати частину конуса до максимального діаметра основи (передню, задню).

а)

б)

Рисунок 7.19 ― Точка на поверхні конуса

Задача 3. Задано точки А, В, С і D, які лежать на поверхні кулі своїми проекціями А₁, В₂, С₁ і D₂. Знайти відсутні проекції А₂, В₁, С₂ і D₁ (рис.7.20).

Положення точки на поверхні кулі визначається за допомогою кола певного радіуса, яке проходить через цю точку на поверхні. На рисунку 7.20а показано побудову горизонтальної проекції В₁ точки В, через яку проведено коло, яке належить поверхні кулі і проходить паралельно площині проекцій p₁. Побудова фронтальної проекції А₂ точки А знайдена тим же способом, хоча можна було б провести через А₁ коло, яке належить поверхні кулі і проходило б паралельно фронтальній площині проекцій. Результат побудови один і той самий. На рисунку 7.20б показано побудову проекцій точок С і D, які, відповідно, лежать на найбільшому меридіані і екваторі сфери.

а)

б)

Рисунок 7.20 ― Точка на поверхні кулі

Для визначення видимості точок треба враховувати видимість півкуль на кожній з проекцій (верхню, нижню, задню, бокову – ліву, праву). Невидимі проекції взяті в дужки.

На рисунку 7.21 зображено поверхню і точки А і В, які належать поверхні тора. Точка А видима, а точка В невидима на фронтальній проекції тора.

Рисунок 7.21 ― Точка на поверхні тору