7.9 Площини, дотичні до кривих поверхонь

Площиною, дотичною до кривої поверхні в будь-якій точці цієї поверхні, називають площину, в якій лежать всі прямі, що проходять через дану на поверхні точку і дотичні до різних кривих, проведених на цій поверхні через цю ж точку.

З агальний план побудови площини, дотичної до кривої поверхні в даній на ній точці, полягає в побудові двох прямих, які є дотичними до двох кривих, що лежать на поверхні і проходять через дану точку (рис. 7.45).

З

Рисунок 7.45 ― Площина, дотична до кривої поверхні

алежно від кривої поверхні дотична площина може мати з поверхнею одну спільну точку, як приклад рис. 7.46, площина дотична до сферичної поверхні. Циліндрична або конічна поверхня, де дотична має одну спільну лінію, яка є твірною даної кривої поверхні і проходить через задану на поверхні точку, зображені на рис. 7.47, 7.48.

Рисунок 7.46 -

Площина, дотична до кулі

Рисунок 7.47 -

Площина, дотична до циліндра

Рисунок 7.48 - Площина, дотична до конуса

Пряма, яка перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку дотику, називається нормаллю.

Задача. Побудувати площину, дотичну до поверхні сфери в точці А, яка лежить на заданій поверхні (рис.7.49).

Оскільки радіус сфери, проведений в точку дотику, є нормаллю сферичної поверхні, то задача побудови дотичної площини зводиться до побудови площини, яка перпендикулярна до ОА. Ця площина визначається прямими AN і AM, перша з яких є горизонталлю, а друга – фронталлю. Знайшовши фронтальний слід горизонталі і горизонтальний слід фронталі, можна побудувати сліди площини. Побудову показано стрілками.

Ця задача може бути розв’язана ще за допомогою заміни площин проекцій (рис. 7.50).

Нова проекція А₄ заданої точки дотику, буде лежати на очерку сфери. Через цю точку пройде шукана фронтально-проекційна площина. Її слід ₄ доторкається очерку кулі, горизонтальний слід ₁ пройде перпендикулярно до осі Х₁₄, а фронтальний слід ₂ буде визначений точками _х і N (фронтальною проекцією фронтального сліду горизонталі АN).

Рисунок 7.49

Рисунок 7.50

Задача. Провести площину, дотичну до циліндра обертання через точку А на поверхні циліндра (рис. 7.51).

У цьому випадку лінією дотику буде твірна циліндра, яка проведена через точку А. Другою прямою, яка визначає шукану площину, може бути, наприклад, горизонтальний слід ₁ цієї площини. Слід ₁ доторкається основи циліндра в точці N. Оскільки твірна NM перпендикулярна ₁, шукана площина  буде горизонтально-проекційною, а її фронтальний слід ₂ буде перпендикулярний до осі ОХ.

Н а рисунку 7.52 показано побудову площини, яка дотична до поверхні конуса. Ця площина має з конусом спільну пряму – твірну конуса, лінія дотику проходить через вершину конуса.

Рисунок 7.51

Рисунок 7.52

Питання та завдання для самоперевірки

1. У чому полягає загальний спосіб побудови перерізу поверхні площиною?

2. Що називається перерізом поверхні?

3. Які лінії отримують при перерізі багатогранників та кривих поверхонь площиною?

4. Які лінії називають лініями зрізу?

5. Суть способу побудови точок перетину прямої з поверхнею.

6. Які допоміжні площини застосовують для знаходження точок перетину прямої з поверхнею?

7. Що називається розгорткою поверхні?

8. Що являє собою розгортка багатогранника?

9. Способи побудови розгортки призми.

10. Яким способом будується розгортка піраміди?

11. Якими способами виконуються розгортки циліндрів, конусів?

12. Яка з ліній на поверхні обертання є екватором (горлом, головним меридіаном)?

    	а) h
    	б) q
    	в) k
    	г) l
    	д) f

13. Яка з ліній на поверхні кулі є екватором (головним меридіаном) кулі?

	а) f1,f2
	б) r2,r1
	в) h1,h2
	г) l2,l1

14. Яку фронтальну проекцію точки А побудовано вірно?

	а) A2
	б) А21
	в) А22

15. Яка точка є горизонтальною проекцією точки C?

	а) C11
	б) C12
	в) C1

16. Яка з точок не належить поверхні конуса?

	а) A
	б) B
	в) C
	г) D

17. По якій кривій в просторі площина перетинає кулю (сферичну поверхню)?

а) еліпс; б) коло; в) гіпербола; г) парабола.

18. Яка з ліній на поверхні кулі є лінією зміни видимості на фронтальній (горизонтальній) площині проекцій?

а) будь яка параллель; б) екватор; в) головний меридіан.

19. Проекції якої точки на поверхні кулі знайдені вірно?

	а) С
	б) К
	в) B
	г) A

20. Які з точок, проекції яких задані на кресленні, є точками зміни видимості на горизонтальній площині проекцій?

	а) 1 і 2
	б) 3 і 31
	в) 4 і 41

21. Яку форму має горизонтальна проекція лінії перерізу кулі площиною , , ?

	а) коло радіуса R3
	б) коло радіуса R2
	в) еліпс з осями (3,4) і (1,2)
	г) еліпс з осями (7,8) і (5,6)

22. Яка форма горизонтальної проекції лінії перерізу кулі площиною ?

	а) еліпс з осями (3,4) і (1,2)
	б) кола радіуса (0131)
	в) еліпс з осями (3141) і (5161)
	г)кола радіуса (0232)

23. Контур якого перерізу сфери площинами , , , Т спроєціюється в дійсну величину на фронтальну площину проекцій?

	а) 
	б) 
	в) Т
	г) 

24. Назвіть геометричну форму фігури перерізу циліндра площиною  ()?

	а) коло
	б) еліпс
	в) чотирикутник
	г) парабола

25. З яких ліній в просторі складається контур лінії перерізу циліндра площинами  і ?

	а) відрізок і частина кола
	б) з частини кола і частини еліпса
	в) з частин двох еліпсів
	г) відрізок і парабола

26. Який переріз циліндра відповідає положенню січної площини  (, )?

	а) рис.1
	б) рис.2
	в) рис.3
	г) рис.4

27. Яку форму перерізу бічної поверхні конуса отримаємо при перетині його площиною, яка паралельна одній твірній конуса?

а) парабола; б) коло; в) еліпс; г) трикутник; д) гіпербола.

28. Яку форму перерізу бічної поверхні конуса отримаємо при перетині його площиною, яка перетинає всі твірні конуса, але не перпендикулярна до його осі?

а) парабола; б) коло; в) еліпс; г) трикутник; д) гіпербола.

29. Коло якого радіуса потрібно провести, щоб побудувати горизонтальні проекції точок К і N?

	а)
	б)
	в)
	д)
Фронтальна проекція конуса

30. Яка з точок на поверхні конуса є горизонтальною проекцією точки М?

	а)
	б)
	в)
	г)
	д)

31. Назвати номери точок, проекції яких при побудові параболи можна визначити без проміжних побудов?

	а) 4 і 3
	б) 7 і 8
	в) 12 і 14
	г) 1 і 2
	д) 9 і 10

32. На якому рисунку контур перерізу конуса площиною  побудовано вірно?

а) рис. 1	б) рис. 2	в) рис. 3

33. На якому рисунку вірно побудована лінія перетину конуса площиною ?

а) рис. 1	б) рис. 2	в) рис. 3

34. Яка точка є найвищою точкою лінії перерізу конуса площиною ?

	а) К (К1К2)
	б) F (F1F2)
	в) A (A1A2)
	г) B (B1B2)

35. Частини яких кривих ліній складають контур перерізу бічної поверхні конуса площинами , , ?

	а) еліпс, парабола, гіпербола
	б) парабола, коло, еліпс
	в) парабола, прямокутник, еліпс
	г) гіпербола, еліпс, трикутник

119