2 . Лінійні операції над векторами та їх властивості .

Під лінійними операціями над векторами розуміють додавання векторів і множення вектора на число .

Означення . Сумою двох векторів і , називається третій вектор

= + , напрямлений з початку вектора в кінець вектора за умови , що початок вектора збігається з кінцем вектора .

= +

Правило обчислення суми векторів . дане в означені , називається правилом трикутника .( Із школи відомо ще правило паралелограма) .

Додавання трьох , чотирьох і більше векторів відбувається послідовно з використанням правила замикаючої : докінця першого вектора добудовується другий , до кінця другого – третій і т.д. Сумою даних векторів буде вектор , замикаючий ламану , побудовану з цих векторів , тобто вектор ,напрямлений з початку першого вектора в кінець останнього .

+ + =

Зауваження . Різниця - двох векторів і визначається як сума вектора і вектора , протилежного вектору .

- = + (- )

Означення . Добутком вектора на дійсне число  називається вектор  , довжина  , а напрям збігається з напрямом вектора , якщо   0 , і протилежний йому , якщо   0 . Якщо  = 0 або = , то  = 0 .

Теорема . Ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді , коли існує єдине число  таке , що =  .

Властивості лінійних операцій над векторами .

1. + = + - комутативність додавання векторів ;

2. ( + ) + = + ( + ) –асоціативність додавання ;

3. + = - існування нульового вектора ;

4. + (- ) = - існування протилежного вектора ;

5. ( ) =  ( ) – асоціативність множення на число ;

6. ( + ) =  + - дистрибутивність відносно додавання чисел ;

7. ( + ) =  +  - дистрибутивність відносно додавання векторів .

8. 1^. = ,

9. (–1) = - .

Доведення випливає з означень операцій над векторами та з їх геометричної інтерпритації .

Розглянуті властивості дозволяють робити перетворення в лінійних операціях над векторами так само , як у звичайній алгебрі : векторні доданки можна переставляти , групувати , виносити за дужки спільні множники як скалярні , так і векторні .

3. Проекція вектора на вісь .

О значення. Пряма з заданим напрямом називається віссю .Напрям позначають стрілкою . Заданий напрям вважають доданим , протилежний йому – від’ємним .

х

О значення . Проекцією точки А на вісь Х називається точка Á , в якій перетинаються вісь Х і площина , яка проходить через точку А перпендикулярно до осі Х .

^{. А}

х

Á

Задамо у просторі вісь Х і вектор =

В

А

φ

B Х

Á

Означення . Геометричною проекцією вектора на вісь Х називається вектор

, де - проекції на вісь Х відповідно початку А і кінець В вектора .

О значення . Числовою проекцією вектора на вісь Х називається довжина вектора , яка береться зі знаком + , якщо вектор і вісь Х однаково напрямлені , і зі знаком - , якщо вектор і вісь Х протилежно напрямлені . Позначається пр_х . Якщо = ,то пр_х = 0 .

Числова проекція визначається так :

Числова проекція вектора на вісь Х дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута φ між вектором і віссю , тобто

пр_х = соs ( , Х ) = соs φ ( 0    Π )

Можливі випадки :

1. Якщо = або  = ,то пр_х = 0 .

2. Я кщо  0 і 0    , то пр_х = соs φ =  0 ;

Якщо  і    , то пр_х = соs φ = -  0 .

Зв’язок між геометричною і числовою проекціями вектора на вісь виражається наступною очевидною рівністю

= пр_х = ^. ,

де - однаково напрямлений з віссю Х вектор одиничної довжини .

Властивості числових проекцій векторів на вісь .

1. Проекція суми векторів на дану вісь дорівнює сумі проекцій векторів – доданків на цю ж вісь :

пр_х ( + ) = пр_х + пр_х Доведення :

В

А = +

С

Á Ć Х

п р_х ( + ) = пр_х = = + = пр_х + пр_х .

2.Проекція добутку вектора на число  на дану вісь дорівнює добутку проекції вектора на це число ;

пр_х ( ) = пр_х

Доведення : Нехай кут між і віссю Х дорівнює  :( ,Х ) =  .

Тоді якщо  > 0 . то

пр_х ( ) =  соs φ =  соs φ =  пр_х ;

якщо  < 0 , то

п р_х ( ) =  соs ( П-  ) = -  соs ( П-  ) =  соs φ =пр_х

при  < 0 вектор  напрямлений протилежно і, якщо ( ,Х ) =  , то

( ,Х ) = П-  ,

якщо  = 0 , то ліва і права частини перетворюються на 0 .

Висновок . Основні властивості числових проекцій вектора на вісь полягають в тому , що лінійним операціям над векторами відповідають лінійні операції над проекціями цих векторів .