8 Векторний добуток двох векторів, його властивості

3 вектори утворюють упорядковану трійку, якщо вказаний порядок їх слідування, тобто який з них 1-й, який 2-й, який 3-й.

Означення: Упорядкована трійка векторів називається правою якщо її вектори зорієнтовані так, як і вектори базису правої системи координат. Аналогічно упорядкована трійка називається лівою, якщо її вектори зорієнтовані так, як і вектори базису лівої системи координат.

права трійка векторів ліва трійка векторів

Означення: Векторним добутком векторів і називається вектор, що позначається × , який:

1. має довжину, що дорівнює добутку довжин векторів і на сінус кута φ між ними.

=

2. перпендикулярний до кожного з векторів і : ;

3. утворює з векторами і праву трійку

Фізичний зміст векторного добутку

Як приклад фізичної величини, що зображається векторним добутком (а таких величин є багато), розглянемо момент сили.

Нехай А є точка прикладення сили , а точка 0 фіксована.

φ

O A

Момент сили відносно точки 0- це вектор , довжина якого дорівнює добутку сили | | на плече сили і який напрямлений по осі обертання так, що коли дивитися з його кінця, то обертання тіла під дією сили , відбувається проти годинникової стрілки. Отже, момент сили відносно точки О дорівнює векторному добутку радіус вектора , проведеного з точки О до точки прикладання сили, на вектор сили :

Властивості векторного добутку двох векторів .

Алгебраїчні .

1. антикомутативність;

2. - асоціативність відносно скалярного множника ;

3. дистрибутивність відносно додавання векторів .

Зауваження . Перелічені властивості дозволяють перемножати векторні многочлени векторно за правилами алгебри скалярних величин . але при цьому треба строго додержуватися порядку слідування множників .

Геометричні .

4. Векторний добуток двох векторів дорівнює нуль- вектору тоді і тільки тоді , коли ці вектори колінеарні :

||

5. Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма , побудованого на цих векторах , віднесених до спільного початку :

в

О φ д

А

Як приклад , обчислюємо векторні добутки ортів ПДСК :

за властивістю 4;

за власт.1

Векторний добуток в координатні формі .

Нехай вектори і задані координатами в ПДСК:

Знайдемо їх векторний добуток

+

+ = групуємо за ортами =

= = вираз в дужках – визначники другого порядку =

а_у а_z а_х а_z a_х а_у

= b_у b_z а_z b_z b_х b_у

= за теоремою про розкладання визначника за елементами рядка ,а саме першого рядка =

= ;

Отже , векторний добуток 2-х векторів , заданих координатами в ПДСК , визначається за формулою :

= ;

Координатами вектора в базисі є

а_у а_{z -} а_х а_z a_х а_у

= b_у b_z а_z b_z b_х b_у

, ,

( алгебраїчні доповнення елементів першого рядка визначника 3- го порядку )

Приклад 1: Знайти площу тр- ка , заданого вершинами А (1; 2; 0 ), В (0 ; -2 ; 1 ) ,

С ( -1 ; 0 ; 2 ). = ( -1 ; -4 ; 1 ) , = ( -2 ; -2 ; 2 )

-

(кв. од)