45. Алгоритм оценки и проверки адекватности нелинейной по параметрам модели (на примере функции Кобба-Дугласа).
Теория производственных функций была разработана американскими учёными Д. Коббом и П. Дугласом, опубликовавшими в 1928 г. опубликовали работу «Теория производства».
Эти учёные предложили одну из наиболее известных разновидностей производственных функций, носящей название функции Кобба-Дугласа.
Общий вид
функции Кобба-Дугласа:
где а – числовой параметр производственной функции;
xi – i-тый аргумент или i-ый фактор производственной функции;
ai – показатель степени i-го аргумента.
Наиболее часто применяется двухфакторная форма функции Кобба-Дугласа f(K,L):
Q=A*Ka*Lβ,
где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);
K – объём основного капитала или основных фондов;
L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).
A,a,β – неизвестные числовые параметры производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1;
2) 0≤β≤1;
3) A›0;
4) a+β=1.
На основании четвёртного условия a+β=1, функция Кобба-Дугласа может быть представлена в виде:
Q=A*Ka*L1-а.
Данная производственная функция позволяет объяснить уровень совокупного выпуска Q количествами затраченного капитала K и труда L основных факторов производства.
На двухфакторную функцию Кобба-Дугласа накладываются определённые ограничения, которые необходимо учитывать при спецификации модели:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Первое и второе ограничения означают, что объём выпускаемой продукции увеличивается при постоянном значении одного из факторов и росте другого фактора. Однако если один из факторов производства фиксирован, а другой фактор возрастает, то каждая дополнительная (предельная) единица возрастающего фактора менее полезна (с точки зрения прироста выпуска продукции), чем предыдущая единица.
Третье и четвёртное ограничения означают, что при фиксированном значении одного из факторов последовательное увеличение другого фактора будет приводить к сокращению прироста значения Q.
Пятое и шестое ограничения означают, что каждый из факторов производства необходим в том смысле, что если один из факторов равен нулю (K=0 или L=0), то и объём производства также равен нулю Q=0.
Показатели двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа
Двухфакторную производственную функцию Кобба-Дугласа f(K,L) можно представить в виде:
Q=A*Ka*Lβ,
где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);
K – объём основного капитала или основных фондов;
L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).
A, a, β – неизвестные числовые параметры производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1;
2) 0≤β≤1;
3) A›0;
4) a+β=1.
Данная производственная функция характеризуется следующими показателями:
1) частный коэффициент эластичности производственной функции Кобба-Дугласа по факторной переменной капитала K рассчитывается по формуле:
Таким образом, ЭК(у)=а, т. е. частный коэффициент эластичности функции Кобба-Дугласа равен числовому параметру а, и, следовательно, является независимым от переменных К и L;
2) частный коэффициент эластичности производственной функции Кобба-Дугласа по факторной переменной затрат труда L рассчитывается по формуле:
Таким образом, ЭL(у)=β, т. е. частный коэффициент эластичности функции Кобба-Дугласа равен числовому параметру β, и, следовательно, является независимым от переменных К и L;
3) коэффициент средней производительности труда производственной функции Кобба-Дугласа:
4) коэффициент средней фондоотдачи производственной функции Кобба-Дугласа:
5) коэффициент предельной производительности труда производственной функции Кобба-Дугласа:
Данный показатель характеризует величину эффекта от каждой дополнительной единицы затраченного труда. Он пропорционален показателю средней производительности труда, но всегда меньше его величины, т. к. 0≤β≤1;
6) коэффициент предельной фондоотдачи производственной функции Кобба-Дугласа:
Данный показатель характеризует величину эффекта от каждой дополнительной единицы основных фондов, использованной в производстве. Он пропорционален показателю средней производительности, но всегда меньше его величины, т. к. 0≤а≤1;
7) коэффициент предельной нормы технической замены факторных переменных (замены труда капиталом) производственной функции Кобба-Дугласа:
Данный показатель характеризует, на
сколько единиц можно уменьшить объём
используемого капитала при увеличении
объёма трудовых затрат на единицу и
фиксированном объёме выпуска продукции.