Практичне заняття №9 інтегральне числення функцій однієї змінної
Теоретичні запитання:
1. Поняття первісної та невизначеного інтеграла
2. Властивості невизначеного інтеграла
3. Таблиця основних інтегралів
4. Основні методи інтегрування функцій
Розв’язування вправ:
1. Знайти невизначені інтеграли, використовуючи метод безпосереднього інтегрування:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
; є)
.
2. Знайти невизначені інтеграли, користуючись методом запровадження нового аргументу:
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
; є)
; ж)
.
3. Знайти невизначені інтеграли, користуючись методом заміни змінної:
а)
; б)
.
4. Знайти невизначені інтеграли, користуючись метод інтегрування частинами:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
Домашнє завдання:
1. Обчислити інтеграли:
а)
; б)
; в)
; г)
,
д)
; е)
; є)
.
2. Обчислити інтеграли:
а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
; е)
; є)
.
3. Обчислити інтеграли:
а)
; б)
.
4. Обчислити інтеграли:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
Практичне заняття №10 визначений інтеграл та деякі його застосування
Теоретичні запитання:
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.
Інтегральна сума функції
,
заданої на сегменті
.Означення границі інтегральних сум при умові , що діаметр розбиття прямує до нуля.
Означення інтеграла Рімана. Інтегровані функції.
Необхідна умова інтегрованості функції на
Властивості визначеного інтеграла
Існування первісної для неперервної функції
Формула Ньютона-Лейбніца
Розв’язати вправи:
Обчислити інтеграли:
а)
; б)
; в)
; г)
.
Визначити обсяг продукції, виробленої робітником за одну годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією:
.
Знайти середнє значення витрат
,
виражених в грошових одиницях, якщо
обсяг продукції
змінюється від 0 до 3 одиниць. Вказати
обсяг продукції, при якому витрати
приймають середнє значення.В економічній теорії виробництва функція Кобба-Дугласа, яка враховує технічний прогрес, має вигляд
,
де
– обсяг фондів;
– обсяг трудових ресурсів;
– інтенсивність розвитку виробництва,
пов’язаного з технічним прогресом.
Тоді, згідно з технічним змістом
виробничої функції Кобба-Дугласа можна
показати, що обсяг виробленої за
років продукції визначається за формулою
.
Знайти, наприклад, обсяг
продукції, виробленої фірмою за два
роки, якщо виробнича функція Кобба-Дугласа
має вигляд
.
Знайти площу фігури, обмеженої графіками функціями:
а)
,
; б)
та
; в)
та
.
Домашнє завдання:
1. Обчислити інтеграли:
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
2. Задано граничний прибуток
фірми
.
Визначити зростання прибутку, якщо
реалізація продукції збільшується від
1000 до 1500 одиниць.
3. Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій:
а)
,
,
,
; б)
та
;
в)
,
,
.
Практичне заняття № 11 елементи теорії диференціальних рівнянь
Теоретичні запитання:
1. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь
2. Диференціальні рівняння першого порядку
3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Розв’язати вправи:
Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.
Використовуючи початкову умову, обчислити її частковий розв’язок (розв’язати задачу Коші).
а)
,
; б)
,
4 в)
;
г)
.
Нехай попит і пропозиція на товар визначаються відповідними співвідношеннями
,
,
де
– ціна товару,
– тенденція формування ціни (похідна
ціни за часом). Нехай також в початковий
момент часу ціна
за одиницю товару склала 1 грош. од.
Виходячи з вимоги відповідності попиту
пропозиції, знайти закон зміни ціни в
залежності від часу.
Домашнє завдання:
1. Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку із відокремлю вальними змінними:
а)
; б)
; в)
; г)
.