Решение:

Линейный спрос можно описать прямой QD = -aP + b (где a и b - положительные константы).

Константы a и b можно рассчитать следующим образом:

Если P1 = 5, Q (P1) = 0. Отсюда: 0 = -a5 + b; b = 5a.

Когда P2 = 0, Q (P2) = 20. Следовательно, b = 20, a = 4.

Поскольку маржинальная (предельная) стоимость получения любой газеты, начиная со второй, равна 0, для извлечения максимальной прибыли нужно максимизировать выручку:

R = PQ = -aP² + bP.

Дифференцируя это выражение, получаем dR/dP = (-2aP + b). Для максимизации: 2aP + b = 0, или P = b/2a.

Таким образом, цена, при которой максимизируется выручка, равна:

Pm = 20/0,008 = 2,50 (руб.).

По этой цене можно продать:

Qm = -4 х 2,5 + 20 = 20 - 10 = 10 (экз.).

Выручка составит:

Rm = 2,50 x 10 = 25 (руб.).

При этом дело стоит начинать, если эта выручка превысит стоимость коробки конфет плюс 3 руб. (которые можно получить с Витьки), т.е. стоимость коробки конфет должна быть меньше, чем:

25 - 3 = 22 руб.

Ответ. Продажу газет стоит начинать в том случае, если стоимость коробки конфет составляет менее 22 руб. Выгоднее всего при этом будет продать 10 экземпляров газеты по цене 2,50 рублей за экземпляр.

9

Две кривые спроса (1 и 2) имеют линейный вид и отрицательный наклон. Они пересекаются в точке с положительными значениями цены и количества (P - цена товара; Q - количество товара), как показано на рисунке:

P

c/d

2

a/b

1

1

2

a

Q

c

При каких значениях цены эластичность по цене кривой 2 будет больше (по абсолютному значению) эластичности кривой 1 при том же значении цены? Обоснуйте свой ответ.

Решение:

Поскольку кривые, по условию, имеют линейный вид, их можно описать следующими формулами:

Кривая 1: Q₁ = a - bP.

Кривая 2: Q₂ = c - dP,

где a, b, c и d - положительные константы.

P

c/d

2

a/b

1

1

2

a

Q

c

Коэффициенты a и с определяют точки пересечения соответствующих кривых с осью, по которой откладывается величина спроса. Коэффициенты b и d определяют углы наклона соответствующих кривых. Кривые 1 и 2 пересекаются с осью цен в точках a/b и c/d, соответственно.

Из условия задачи (см. рисунок) следует, что:

c/d > a/b. (1)

Коэффициент эластичности для кривой 1 будет рассчитываться по формуле:

E₁ = Q₁/Q₁ x P₁/P₁.

Коэффициент эластичности для кривой 2 будет рассчитываться по формуле:

E₂ = Q₂/Q₂ x P₂/P₂.

E₂ > E₁ означает, что:

Q₂/Q₂ x P₂/P₂ > Q₁/Q₁ x P₁/P₁. (2)

Для линейных кривых:

Q₁ = bP₁;

Q₂ = dP₂.

Отсюда:

Q₁/Q₂ = bP₁/dP₂. (3)

Для любого P при P₁ = P₂; P₁ = P₂

неравенство (2) примет вид:

Q₁/Q₁ < Q₂/Q₂,

или Q₁/Q₂ < Q₁/Q₂. (4)

Из уравнения (3) и неравенства (4) следует, что:

b/d < Q₁/Q₂,

или b/d < (a - bP)/(c - dP).

Отсюда:

bc - bdP < ad - bdP,

то есть bc < ad,

и c/d < a/b,

что противоречит условию - см. неравенство (1).

Следовательно, при всех значениях цены (P) E₂ < E₁.

Ответ. Ни при каких. При всех значениях цены коэффициент эластичности по цене точки на кривой 1 будет по абсолютному значению больше, чем коэффициент эластичности по цене точки на кривой 2, рассчитанный для того же значения цены.

11

Первоначальные кривые спроса и предложения товара А имели линейный вид. Кривая предложения задавалась выражением Q_S = 5P - 70. При этом равновесное количество товара составляло 30 штук, а абсолютное значение коэффициента эластичности спроса по цене в точке равновесия было равно 2.

Государство ввело дотацию производителям товара А. В новой точке равновесия абсолютное значение коэффициента эластичности спроса по цене оказалось равным 0,6.

Определите значение коэффициента эластичности предложения по цене в новой точке равновесия.

Решение

Поскольку кривые спроса и предложения, по условию, имеют линейный вид, их можно описать следующими формулами:

Кривая спроса: Q_D = a - bP.

Кривая предложения: Q_S = c + dP,

где a, b, c и d - константы.

Введение дотации производителям приведет к увеличению предложения товара А; спрос на товар А при этом не изменится. После введения дотации новая кривая предложения будет задаваться выражением Q_S = c + d(P + s), где s - величина дотации.

Обозначим первоначальную (до введения дотации) равновесную цену P1, первоначальное равновесное количество Q1, а коэффициент эластичности спроса по цене в первоначальной точке равновесия Е^D1. Равновесную цену и равновесное количество после введения дотации обозначим как P2 и Q2, коэффициент эластичности спроса в новой точке равновесия - как Е^D2, а коэффициент эластичности предложения - как Е^S2.

Коэффициент эластичности предложения по цене задается выражением:

E^S = Q^S/P^S  P^S/Q^S.

Коэффициент эластичности спроса по цене задается выражением:

E^D = Q^D/P^D  P^D/Q^D.

При этом, поскольку кривые спроса и предложения по условию задачи имеют линейный вид:

Q^S/P^S = d,

Q^D/P^D = -b, и

E^S = d  P^S/Q^S,

E^D = -b  P^D/Q^D.

Подставив первоначальное равновесное количество в уравнение первоначального предложения, мы можем определить первоначальную равновесную цену:

P1 = (Q1 + 70)/5 = (30 + 70)/5 = 100/5 = 20.

В первоначальной точке равновесия абсолютное значение коэффициента эластичности спроса по цене равно:

Е^D1 = -b  P1/Q1. Отсюда можно определить значение b:

b = Е^D1  Q1/P1 = 2  30/20 = 3.

В точке равновесия после введения дотации абсолютное значение коэффициента эластичности спроса по цене равно:

Е^D2 = -b  P2/Q2. Отсюда можно определить соотношение P2/Q2:

P2/Q2 = Е^D2/b = 0,6/3 = 0,2.

В точке равновесия после введения дотации значение коэффициента эластичности предложения по цене равно:

Е^S2 = d  P2/Q2.

По условию задачи, d = 5.

Таким образом,

Е^S2 = d  P2/Q2 = 5  0,2 = 1.

Ответ. Значение коэффициента эластичности предложения по цене в новой точке равновесия равно 1.

16

Кривая спроса на товар задается выражением: QD = 3600 - 400P, а кривая предложения: QS = 1975 + 250P.

а) Постройте графики спроса и предложения, определите равновесные цену и количество.

б) Опишите ситуацию, которая возникнет, если будет введена фиксированная цена на данный товар, равная 2.

Решение

а) Уравнивая спрос и предложение, находим равновесную цену товара:

3600 - 400P = 1975 + 250P;

1625 = 650P;

Pравн = 2,5.

Подставляя значение равновесной цены в выражения для кривых спроса (или предложения), получаем значение равновесного количества:

Qравн= 3600 - 400 х 2,5 = 2600.

а) Ответ. Равновесная цена - 2,5. Равновесное количество - 2600.

Строим графики спроса и предложения:

P

S

2,5

D

Q

O

2600

б) В случае, если будет введена фиксированная цена, равная 2, величина спроса при этой цене составит:

QD = 3600 - 400 х 2 = 2800;

величина предложения:

QS = 1975 + 250 х 2 = 2475.

Поскольку величина спроса при цене 2 превышает величину предложения, возникнет нехватка (дефицит). Величина этой нехватки (дефицита) равна: 2800 - 2475 = 375.

б) Ответ. Возникнет нехватка (дефицит). Величина нехватки (дефицита) - 375.

18

Кривые спроса и предложения товара А имеют линейный вид. Кривая спроса описывается формулой QD = 400 - 10P. Равновесное количество равно 100 единицам. Выигрыш потребителей в 2 раза превышает выигрыш производителей. Определите величину нехватки (дефицита), которая может возникнуть, если на товар А будет установлен потолок цен в $28.

Р

Цена ($)

ешение

P2

A

S

E

Pð

B

P1

C

D

Qð = 100

Количество (ед.)

Выигрыш потребителей (CS) определяется как площадь треугольника ABE, ограниченного точкой равновесия, точкой на оси цен, соответствующей равновесной цене, и точкой на оси цен, где кривая спроса пересекает эту ось. Эту площадь можно вычислить как:

CS = 0,5  Qp  (P₂ - Pp).

Выигрыш производителей (PS) определяется как площадь треугольника BCE, ограниченного точкой равновесия, точкой на оси цен, соответствующей равновесной цене, и точкой на оси цен, где кривая предложения пересекает эту ось.

PS = 0,5  Qp  (Pp - P₁).

Равновесную цену и значение P2 можно определить, подставив соответствующие значения Q в уравнение кривой спроса:

100 = 400 - 10Pp; Pp = 30.

0 = 400 - 10P₂; P₂ = 40.

Выигрыш потребителей: CS = 0,5  100  (40 - 30); CS = 500.

Выигрыш производителей, по условию, равен 0,5  500 = 250.

Отсюда можно найти P₁: 250 = 50  (30 - P₁); P₁ = 25.

Теперь можно вычислить коэффициенты линейной кривой предложения, которая имеет общий вид: QS = a + bP.

100 = a + 30b и

0 = a + 25b,

откуда a = -500, b = 20.

Таким образом, кривая предложения имеет вид: QS = -500 + 20P.

Подставляя значение потолка цен ($28) в уравнения спроса и предложения, получаем величину предложения при цене $28:

-500 + 20  28 = 60.

Величина спроса при цене 28 будет равна:

400 - 10  28 = 120.

Величина нехватки (дефицита): 120 - 60 = 60.